[论文解读] Intersection theory on the moduli space of holomorphic curves with Lagrangian boundary conditions

Jake P. Solomon|ArXiv.org|Jun 18, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 122

一句话总结

本文引入了一类新的开Gromov-Witten不变量，适用于边界位于拉格朗日子流形上的全纯曲线，通过伪全纯映射模空间上的交集理论进行定义。在拉格朗日子流形为反辛对合的固定点集且维数为2或3的假设下，这些不变量通过从拉格朗日子流形拉回的定向丛来定义，并被证明在亏格0情形下推广了Welschinger的不变量；在亏格0、度数1的实五次三ifold中，该不变量的计算结果为30。

ABSTRACT

We define a new family of open Gromov-Witten type invariants based on intersection theory on the moduli space of pseudoholomorphic curves of arbitrary genus with boundary in a Lagrangian submanifold. We assume the Lagrangian submanifold arises as the fixed points of an anti-symplectic involution and has dimension 2 or 3. In the strongly semi-positive genus 0 case, the new invariants coincide with Welschinger's invariant counts of real pseudoholomorphic curves. Furthermore, we calculate the new invariant for the real quintic threefold in genus 0 and degree 1 to be 30.

研究动机与目标

• 为边界位于拉格朗日子流形上的伪全纯曲线定义一类新的开Gromov-Witten不变量。
• 在拉格朗日子流形非可定向时，解决开稳定映射模空间中的定向问题。
• 构建在亏格0情形下推广Welschinger实曲线计数的不变量。
• 计算实五次三ifold在亏格0、度数1情形下的不变量。
• 利用等变Kuranishi结构与多重截面，建立严谨的框架以实现横截性扰动。

提出的方法

• 在开稳定映射的模空间上赋予Kuranishi结构，并使用等变多重截面来处理障碍丛。
• 通过边界标记点的评估映射，将拉格朗日子流形的定向丛拉回到模空间。
• 利用良好坐标系并沿各层递推延拓，构造多重截面的横截性扰动。
• 将不变量定义为扰动柯西-黎曼方程解的带符号加权计数，并在模空间上积分。
• 该构造依赖于对行列式线丛的规范平凡化选择，以定义定向。
• 通过良好坐标系的性质与横截性，证明了不变量在扰动下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当拉格朗日子流形非可定向时，能否为边界位于拉格朗日子流形上的全纯曲线定义开Gromov-Witten不变量？
• RQ2 在不假设拉格朗日子流形为相对自旋的情况下，如何解决开稳定映射模空间中的定向问题？
• RQ3 新不变量构造在实伪全纯曲线的亏格0情形下是否能恢复Welschinger的不变量？
• RQ4 实五次三ifold在亏格0、度数1情形下的新不变量值是多少？
• RQ5 能否利用Kuranishi结构与多重截面在开稳定映射的模空间上建立良好的交集理论？

主要发现

• 新不变量对作为反辛对合固定点集的二维或三维拉格朗日子流形是良定义的。
• 拉格朗日子流形的定向丛可沿边界标记点的评估映射拉回到开稳定映射的模空间，从而实现取值于定向丛的微分形式的积分。
• 在强半正性亏格0情形下，新不变量与Welschinger对实伪全纯曲线的计数结果一致。
• 对于亏格0、度数1的实五次三ifold，新不变量被计算为精确值30。
• 该构造利用良好坐标系与横截性多重截面扰动，定义了一个代表虚拟基本类的有理奇异链。
• 不变量与扰动和几乎复结构的选择无关，证明了其在形变下的不变性。