[论文解读] Intertwining, Excursion Theory and Krein Theory of Strings for Non-self-adjoint Markov Semigroups

Pierre Patie, Mladen Savov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文通過點過程理論與克雷因弦理論，建立非自伴馬爾可夫半群之間的機率與譜聯繫，利用交錯理論與克雷因弦理論。結果顯示，交錯關係意味著在邊界點處共享歸一化的局部時間，並透過證明譜測度相對於逆局部時間的史蒂爾吉斯測度的絕對連續性，擴展克雷因譜理論，此結果在正自相似與反射廣義拉蓋爾半群上獲得驗證，並提供譜間隔估計。

ABSTRACT

In this paper, we start by showing that the intertwining relationship between two minimal Markov semigroups acting on Hilbert spaces implies that any recurrent extensions, in the sense of Itô, of these semigroups satisfy the same intertwining identity. Under mild additional assumptions on the intertwining operator, we prove that the converse also holds. This connection, which relies on the representation of excursion quantities as developed by Fitzsimmons and Getoor, enables us to give an interesting probabilistic interpretation of intertwining relationships between Markov semigroups via excursion theory: two such recurrent extensions that intertwine share, under an appropriate normalization, the same local time at the boundary point. Moreover, in the case when one of the (non-self-adjoint) semigroup intertwines with the one of a quasi-diffusion, we obtain an extension of Krein's theory of strings byshowing that its densely defined spectral measure is absolutely continuous with respect to the measure appearing in the Stieltjes representation of the Laplace exponent of the inverse local time. Finally, we illustrate our results with the class of positive self-similar Markov semigroups and also the reflected generalized Laguerre semigroups. For the latter, we obtain their spectral decomposition and provide, under some conditions, a perturbed spectral gap estimate for its convergence to equilibrium.

研究动机与目标

• 透過點過程理論建立馬爾可夫半群之間交錯關係的機率解釋。
• 透過將譜測度與逆局部時間的史蒂爾吉斯測度連結，將克雷因的弦理論擴展至非自伴半群。
• 針對正自相似與反射廣義拉蓋爾半群提供譜分解與收斂估計。
• 證明交錯關係在重複擴展中意味著在邊界點處共享歸一化的局部時間。
• 證明在與擬擴散過程交錯時，非自伴半群的譜測度相對於逆局部時間的史蒂爾吉斯測度具有絕對連續性。

提出的方法

• 使用菲茨西蒙斯與吉特奧的點過程表示法，將交錯關係連結至邊界點處的共享歸一化局部時間。
• 應用伊藤意義下的重複擴展理論，將最小半群的交錯關係與其重複對應物連結。
• 運用譜分解技術分析逆局部時間的拉普拉斯指數與史蒂爾吉斯表示法，以研究譜測度。
• 透過算子 $\Lambda$ 及其共軛 $\Lambda^\dagger$ 建立原始與對偶半群之間的交錯恆等式。
• 利用交錯算子 $\Lambda$ 的有界性與閉包性，推導 $L^2(\mathfrak{m})$ 中的收斂估計。
• 透過正交多項式 $\mathcal{P}_n$ 與權重 $\mathfrak{c}_n(-\theta)$ 對 $P_t$ 與 $Q_t$ 進行譜展開，以推導收斂界。

实验结果

研究问题

• RQ1 兩個最小馬爾可夫半群之間的交錯關係是否意味著其重複擴展具有共享的機率結構？
• RQ2 邊界點處的局部時間是否可用於以歸一化點過程量解釋重複擴展之間的交錯關係？
• RQ3 在何種條件下，非自伴半群的譜測度相對於逆局部時間的史蒂爾吉斯測度具有絕對連續性？
• RQ4 如何透過交錯與點過程理論，將克雷因的弦理論擴展至非自伴馬爾可夫半群？
• RQ5 在交錯關係下，針對正自相似與反射廣義拉蓋爾半群，可推導出何種譜分解與收斂速率估計？

主要发现

• 最小馬爾可夫半群之間的交錯關係意味著其重複擴展在邊界點處共享相同的歸一化局部時間。
• 與擬擴散過程交錯的非自伴半群的譜測度相對於逆局部時間的史蒂爾吉斯測度具有絕對連續性。
• 針對反射廣義拉蓋爾半群，利用正交多項式與對應權重獲得譜分解。
• 在特定條件下，推導出收斂至平衡態的受擾譜間隔估計，其速率受 $C_t \|\Lambda_\phi g_m - f\|_{\mathfrak{m}}^2$ 界定。
• 當 $t > T_\mathfrak{b}$ 時，$P_t f$ 收斂至平衡態的速率受 $\frac{\mathfrak{b}+1}{1-\theta}e^{-2t}\|f - \mathfrak{m}f\|_{\mathfrak{m}}^2$ 界定，其中 $T_\mathfrak{b} = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\mathfrak{b}+2}{2-\theta}\right)$。
• 透過 $\mathcal{S}((c_n)) = \sum_{n=0}^\infty c_n \mathfrak{c}_n^{-1/2}(-\theta) \mathcal{P}_n$ 定義的算子 $\mathcal{S}$ 是有界的，其算子範數為 $|||\mathcal{S}|||$，進而可在 $L^2(\mathfrak{m})$ 中實現收斂控制。