[论文解读] Interval colorings of complete bipartite graphs and trees

Rafayel R. Kamalian|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用 34

一句话总结

本文研究了完全二分图和树中的区间边染色，证明了树是区间可染色的充分必要条件是其最大度Δ(D)等于最小区间染色大小w(D)，且最大区间染色大小W(D)等于M(D)，即D中路径的最大长度。本文进一步证明，对于任意t满足w(D) ≤ t ≤ W(D)，均存在区间t-染色，从而完全刻画了树的区间可染色性。

ABSTRACT

A translation from Russian of the work of R.R. Kamalian "Interval colorings of complete bipartite graphs and trees", Preprint of the Computing Centre of the Academy of Sciences of Armenia, Yerevan, 1989. (Was published by the decision of the Academic Council of the Computing Centre of the Academy of Sciences of Armenian SSR and Yerevan State University from 7.09.1989).

研究动机与目标

• 刻画完全二分图K_{m,n}和树的区间可染色性。
• 确定此类图的最小区间染色大小w(G)和最大区间染色大小W(G)。
• 建立树在区间[w(D), W(D)]内所有t的区间t-染色存在的必要与充分条件。
• 证明对于树，有w(D) = Δ(D)且W(D) = M(D)，其中M(D)是D中路径的最大长度。

提出的方法

• 将区间t-染色定义为一种正常边染色，使得每个顶点的关联边获得连续的颜色。
• 使用欧几里得算法计算σ(m,n) = gcd(m,n)，该值界定了某些矩阵构造中所需的最少颜色数。
• 引入(0,1)-矩阵H(μ,ν)，并定义如“聚集”行与列等性质，以建模边染色。
• 建立r'-正则与r''-正则矩阵之间的等价性与相互一致性，以推导矩阵宽度w的下界。
• 通过s(m,n)（即欧几里得算法中的步骤数）进行归纳，证明矩阵引理，即w ≥ m + n − σ(m,n)。
• 通过边数|E(D)|的归纳法，利用悬挂边移除与基于路径的染色策略，证明对于树，所有t ∈ [Δ(D), M(D)]均存在区间t-染色。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些完全二分图K_{m,n}存在区间染色？
• RQ2 完全二分图和树的区间染色中，所需的最少颜色数w(G)和最多颜色数W(G)分别是多少？
• RQ3 在何种条件下，树D对所有t ∈ [w(D), W(D)]都存在区间t-染色？
• RQ4 最大区间染色大小W(D)与树D的结构有何关系？

主要发现

• 完全二分图K_{m,n}是区间可染色的充分必要条件是m和n不同时为奇数，且w(K_{m,n}) = m + n − gcd(m,n)，W(K_{m,n}) = m + n − 1。
• 对于任意树D，有w(D) = Δ(D)，即D的最大度，且W(D) = M(D)，其中M(D)是D中路径的最大长度。
• 若Δ(D) ≤ t ≤ M(D)，则D存在区间t-染色，且可通过边数的归纳法构造该染色。
• 树的区间染色存在性被完全刻画：当且仅当w(D) = Δ(D)且W(D) = M(D)时，树是区间可染色的。
• 矩阵引理证明：对于等价、相互一致且聚集的(0,1)-矩阵，其宽度w满足w ≥ m + n − gcd(m,n)，且该界是紧的。