[论文解读] Interval colorings of edges of a multigraph

Armen S. Asratian, Raffi Kamalian|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 58

一句话总结

本文研究多重图中的区间边染色与连续边染色，其中指定集合中顶点的关联边使用连续颜色进行染色。论文建立了此类染色存在的必要与充分条件，证明了在二分多重图中识别连续染色的NP-完全性，并给出了所需颜色数的界限，特别是表明具有区间染色的三角形-free连通多重图最多需要 |V|−1 种颜色。

ABSTRACT

Let $G=(V_1(G),V_2(G),E(G))$ be a bipartite multigraph, and $R\subseteq V_1(G)\cup V_2(G)$. A proper coloring of edges of $G$ with the colors $1,\ldots,t$ is called interval (respectively, continuous) on $R$, if each color is used for at least one edge and the edges incident with each vertex $x\in R$ are colored by $d(x)$ consecutive colors (respectively, by the colors $1,\ldots,d(x))$, where $d(x)$ is a degree of the vertex $x$. We denote by $w_1(G)$ and $W_1(G)$, respectively, the least and the greatest values of $t$, for which there exists an interval on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$ with the colors $1,\ldots,t$. In the paper the following basic results are obtained. extbf{Theorem 2.} For an arbitrary $k$, $w_1(G)\leq k\leq W_1(G)$, there is an interval on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$ with the colors $1,\ldots,k$. extbf{Theorem 3.} The problem of recognition of the existence of a continuous on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$ is $NP$-complete. extbf{Theorem 4.} If for any edge $(x,y)\in E(G)$, where $x\in V_1(G)$, the inequality $d(x)\geq d(y)$ holds then there is a continuous on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$. extbf{Theorem 1.} If $G$ has no multiple edges and triangles, and there is an interval on $V(G)$ coloring of the graph $G$ with the colors $1,\ldots,k$, then $k\leq|V(G)|-1$.

研究动机与目标

• 研究多重图中的区间与连续边染色，其中指定子集 R 中顶点的关联边使用连续颜色进行染色。
• 确定此类染色存在的必要与充分条件。
• 分析在二分多重图中识别连续染色的复杂性。
• 为三角形-free多重图中的区间染色建立颜色数的上界。
• 探索具有区间或连续染色的多重图的结构特性，特别是正则与二分情形。

提出的方法

• 定义多重图 G 中边的区间与连续染色，其中指定集合中每个顶点 x 的关联边使用 d(x) 个连续颜色进行染色。
• 引入集合 N_t 与 N，用于对可进行 t 种颜色区间染色的多重图进行分类。
• 使用构造性染色技术：从高编号颜色类向低编号颜色类重新染色，以减少颜色数量，同时保持染色的正确性。
• 通过基于路径的论证与反证法，推导出三角形-free 图中最大颜色数 W(G) 的界限。
• 通过交错路径将二分多重图中连续染色问题约化为匹配与路径重染色问题。
• 通过从已知 NP-完全问题约化证明 NP-完全性，特别使用固定颜色计数的边染色问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多重图可在顶点子集上实现区间或连续边染色？
• RQ2 多重图的区间染色所需颜色的最小值与最大值分别是多少？
• RQ3 识别二分多重图是否可在顶点子集上实现连续染色的问题是否为 NP-完全？
• RQ4 能否为三角形-free 多重图中的区间染色建立颜色数的上界？
• RQ5 多重图的何种结构特性可保证存在使用 Δ(G) 种颜色的连续染色？

主要发现

• 对于任意满足 G ∈ N 的多重图 G，其色指数 χ′(G) 等于 Δ(G)，这意味着区间染色意味着使用最少可能颜色数的边染色。
• 若 G 为正则图且可进行区间染色，则 χ′(G) = Δ(G)，且对所有满足 Δ(G) ≤ t ≤ W(G) 的 t 值，此类染色均存在。
• 在三角形-free 连通多重图中，W(G) ≤ |V(G)| − 1，建立了所需颜色数的紧致上界。
• 在二分多重图中识别连续染色问题是 NP-完全的，即使最大度有界亦然。
• 在二分多重图 G 中，若对所有边 (x,y) 满足 x ∈ V₁(G)，均有 d(x) ≥ d(y)，则在 V₁(G) 上存在连续染色，提供了一个充分条件。
• 若 min_{x∈V₁(G)} d(x) ≥ max_{y∈V₂(G)} d(y)，则在 V₁(G) 上存在连续染色，提供了一个基于度数的充分条件。