[论文解读] Interval straight line fitting

M. Gutowski|ArXiv.org|Aug 23, 2001

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于区间分析的约束满足方法，用于计算实验数据拟合中线性模型参数（斜率和截距）的保证且紧致的边界。该方法不依赖于最小化误差函数，而是采用盒子切片算法，计算所有与测量不确定性一致的解的区间包络，从而在不依赖置信水平或误差分布假设的前提下，提供严格、非概率性的边界。

ABSTRACT

I consider the task of experimental data fitting. Unlike the traditional approach I do not try to minimize any functional based on available experimental information, instead the minimization problem is replaced with constraint satisfaction procedure, which produces the interval hull of solutions of desired type. The method, called 'box slicing algorithm', is described in details. The results obtained this way need not to be labeled with confidence level of any kind, they are simply certain (guaranteed). The method easily handles the case with uncertainties in one or both variables. There is no need for, always more or less arbitrary, weighting the experimental data. The approach is directly applicable to other experimental data processing problems like outliers detection or finding the straight line, which is tangent to the experimental curve.

研究动机与目标

• 解决传统回归方法依赖概率假设（如正态误差分布和置信水平）的局限性，这些假设在真实实验数据中往往缺乏依据。
• 在x和y变量均存在测量不确定性的情况下，提供确定性、保证性的真实线性模型参数（斜率和截距）的封闭区间。
• 消除对权重方案、置信水平或最小二乘法或最小绝对偏差法中常见的渐近近似等任意选择的依赖。
• 在无需对数据结构预先假设的前提下，实现对异常值的鲁棒检测，以及对渐近线或切线的识别。

提出的方法

• 该方法将误差函数最小化替换为约束满足问题，求解斜率（a）和截距（b）的区间，使得每个测量数据点均位于由区间定义的直线上。
• 采用盒子切片算法，计算满足以下方程组的所有解的区间包络：a*x_j + b ∈ y_j 对所有j成立，其中x_j和y_j为区间。
• 该方法基于区间算术和包含原理，确保所得参数区间必然包含真实值。
• 对于异常值检测，未满足区间方程组的数据点被自动识别为异常值，无需事先怀疑。
• 对于寻找渐近线或切线，该方法逐步添加数据点，并监测当区间包络停止缩小或变为空时，即表示找到最佳拟合线。
• 由于约束满足过程具有有限性，该方法计算开销小且可可靠终止，即使在存在高达50%异常值的情况下亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 当x和y的测量均存在不确定性时，如何计算线性模型参数的保证性、非概率性边界？
• RQ2 能否在无需先验假设或主观阈值的情况下检测实验数据中的异常值？
• RQ3 如何基于实验数据可靠地确定与曲线相切的直线参数？
• RQ4 是否存在一种稳健的替代方法，可替代最小二乘法或最小绝对偏差拟合，且避免对误差分布的假设？
• RQ5 能否通过区间分析系统性地从实验数据中识别过程的渐近行为？

主要发现

• 盒子切片算法计算满足区间线性方程组的所有解的区间包络，提供无需置信水平的斜率和截距的保证边界。
• 该方法产生保守但确定的参数区间，确保真实值以数学确定性被包含在内。
• 异常值被自动检测为不满足计算所得参数区间与区间方程组的数据点。
• 该方法具有鲁棒性，在有限测试中可处理高达50%的异常值。
• 对于寻找渐近线，算法通过逐步添加数据点识别出稳定的区间包络，并在包络不再缩小或变为空时停止。
• 该方法无需对误差分布、权重方案或置信水平做任何假设，适用于具有离散、非高斯不确定性的数字测量数据。