[论文解读] Intrinsic brackets and the $L_\infty$-deformation theory of bialgebras

Martin Markl|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文通过在余链复形上构造一个 $L_\infty$-结构，建立了双代数上同调上的李括号（称为内在括号），证明其将经典霍赫希尔德上同调中的内在括号扩展到了格尔斯滕哈伯-沙克上同调。该构造解决了长期悬而未决的问题，表明 $L_\infty$-主方程控制双代数的形变，其显式公式源自对极小模型和范畴图式分解的前期工作。

ABSTRACT

We show that there exists a Lie a bracket on the cohomology of any type of (bi)algebras over an operad or a PROP, induced by a strongly homotopy Lie structure on the defining cochain complex, such that the associated "quantum" master equation captures deformations. This in particular implies the existence of a Lie bracket on the Gerstenhaber-Schack cohomology of a bialgebra that extends the classical intrinsic bracket on the Hochschild cohomology, giving an affirmative answer to an old question about the existence of such a bracket.

研究动机与目标

• 通过在 (bi)代数的余链复形上使用 $L_\infty$-结构，定义任意关于范畴图式或操作子的 (bi)代数上同调上的李括号。
• 证明与之相关的 $L_\infty$-主方程能捕捉双代数的形变理论。
• 解决长期悬而未决的问题：在双代数的格尔斯滕哈伯-沙克上同调上是否存在一个扩展自霍赫希尔德上同调中经典内在括号的李括号。
• 利用 [24] 的结果和极小模型构造，提供内在括号的显式公式。
• 证明双代数的上同调，特别是 $\mathcal{A}$ss-双代数，自然携带一个诱导出该括号的 $L_\infty$-代数结构。

提出的方法

• 该构造使用了控制 (bi)代数结构的范畴图式 ${\sf P}$ 的极小模型 $({\sf M}, \partial)$。
• 余链复形 $C^*_{{\sf P}}(V;V)$ 定义为 graded 导子 $\operatorname{Der}({\sf M}, \operatorname{End}_V)$ 的悬垂，配备一个次数为 +1 的微分 $\delta_{{\sf P}}$。
• 通过极小模型在余链复形上诱导出一个 $L_\infty$-结构，其中高阶括号由模型的微分 $\partial$ 导出。
• 通过利用上同调从极小模型继承的分次李代数结构，将 $L_\infty$-结构上移到上同调，从而获得上同调上的内在李括号。
• 对于 $\mathcal{A}$ss-双代数，余链复形同构于格尔斯滕哈伯-沙克复形，且该括号退化为该上同调上的已知括号。
• 证明依赖于对双复形的谱序列论证，这些双复形来自双代数范畴图式 ${\sf DB}$ 的极小模型上的滤子分次。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个李括号，使得其在双代数的格尔斯滕哈伯-沙克上同调上，能扩展自霍赫希尔德上同调中的经典内在括号？
• RQ2 双代数的形变理论是否能由余同调 $L_\infty$-代数结构所导出的 $L_\infty$-主方程所捕捉？
• RQ3 双代数上同调上的内在括号是否具有函子性且与极小模型的选择无关？
• RQ4 如何从控制双代数的范畴图式的已知分解中推导出内在括号的显式公式？
• RQ5 双代数的范畴图式 ${\sf DB}$ 的极小模型在实现余链复形上的 $L_\infty$-结构中起到什么作用？

主要发现

• 任何关于范畴图式的 (bi)代数的上同调自然携带一个李括号（称为内在括号），该括号由余链复形上的 $L_\infty$-结构诱导得出。
• 该内在括号在 $\mathcal{A}$ss-双代数的格尔斯滕哈伯-沙克上同调上，扩展了来自霍赫希尔德上同调的经典内在括号。
• 与余链复形相关的 $L_\infty$-主方程控制双代数的形变理论。
• 该构造在任意特征为零的域上成立，且出人意料地在整数上也成立。
• 证明了双代数的范畴图式 ${\sf DB}$ 的极小模型是一个 ${\sf B}$-自由极小模型，通过谱序列论证证明其同调同构于 ${\sf DB}$。
• 通过 [24] 的结果，利用图示形式的扩展格尔斯滕哈伯-沙克微分，提供了内在括号的显式公式。