[论文解读] Introduction to categorification

Alistair Savage|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文将范畴化引入表示论作为统一框架，聚焦于韦尔代数和海森伯代数等代数结构的弱范畴化与强范畴化。通过模范畴、格罗滕迪克群和2-范畴，将代数关系提升为范畴同构，关键结果表明：通过尼尔科泽特代数和对称函数范畴，多项式表示与 Fock 空间表示均可实现范畴化。

ABSTRACT

These are the notes for a two-week mini-course given at a winter school in January 2014 as part of the thematic semester New Directions in Lie Theory at the Centre de Recherches Mathématiques in Montréal. The goal of the course was to give an overview of the idea of categorification, with an emphasis on some examples where explicit computation is possible with minimal background. The notes begin with a very brief review of the representation theory of associative algebras, before introducing the concept of weak categorification with some simple examples. It then proceeds to a discussion of more sophisticated examples of categorification, including a weak categorification of the polynomial representation of the Weyl group and the Fock space representation of the Heisenberg algebra. The notes conclude with a discussion of strong categorification and a brief overview of some further directions in the field.

研究动机与目标

• 为具备基础代数与范畴论背景的研究生提供范畴化的自包含导论。
• 展示如何利用模范畴与格罗滕迪克群对韦尔代数与海森伯代数等代数结构实现范畴化。
• 引入弱范畴化与强范畴化的区分，并通过对称函数与尼尔科泽特代数的明确例子加以说明。
• 为高级主题（如图示海森伯2-范畴与范畴化表示论中的2-范畴结构）奠定基础。

提出的方法

• 利用格罗滕迪克群将模范畴与代数结构关联，实现弱范畴化。
• 利用尼尔科泽特代数及其模，对韦尔代数在多项式上的作用实现弱范畴化。
• 通过对称函数与霍普夫代数 Sym 构造海森伯代数在 Fock 空间上的表示的范畴化。
• 引入2-范畴与2-函子，形式化强范畴化，特别是通过图示海森伯2-范畴。
• 利用代数塔与海森伯双代数构造，实现海森伯代数的强范畴化。
• 应用范畴工具如幂等完备化、卡鲁比包络与加法2-范畴，丰富范畴化代数的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用模范畴对韦尔代数的多项式表示实现弱范畴化？
• RQ2 尼尔科泽特代数在实现韦尔代数在多项式上作用的弱范畴化中起什么作用？
• RQ3 如何通过对称函数与模范畴对海森伯代数的 Fock 空间表示实现范畴化？
• RQ4 实现海森伯代数强范畴化所需的结构（如2-范畴、图示范畴）是什么？
• RQ5 模范畴的格罗滕迪克群如何在范畴化中恢复原始代数结构？

主要发现

• 通过尼尔科泽特代数及其模，韦尔代数的多项式表示实现了弱范畴化，其格罗滕迪克群同构于多项式环。
• 通过对称函数的霍普夫代数 Sym，海森伯代数的 Fock 空间表示实现了弱范畴化，其模范畴的格罗滕迪克群实现了 Fock 空间。
• 通过图示海森伯2-范畴，海森伯代数的强范畴化得以实现，该范畴提供了代数关系的2-范畴提升。
• 海森伯双代数构造通过代数塔与双模，实现了海森伯代数的强范畴化。
• 图示海森伯2-范畴上模2-范畴的格罗滕迪克群恢复了原始海森伯代数。
• 范畴化的 Fock 空间被实现为对称函数范畴上模范畴的分裂格罗滕迪克群，其作用被提升为范畴之间的函子。