[论文解读] Categorifications from planar diagrammatics

Mikhail Khovanov|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 37被引用 24

一句话总结

本文通过平面弦图，对量子群的正半部分进行了范畴化，其中函子表示为细线，自然变换表示为节点，双自伴性使得关系具有同伦不变性。主要贡献是为 Soergel 双模和范畴化量子群建立了一套图形演算，其 2-范畴的格罗滕迪克环同构于量子 sl(n) 的 BLM 形式。

ABSTRACT

A diagrammatic presentation of functors and natural transformations and the virtues of biadjointness are discussed. We then review a graphical description of the category of Soergel bimodules and a diagrammatic categorification of positive halves of quantum groups. These notes are a write-up of Takagi lectures given by the author in Hokkaido University in June 2009.

研究动机与目标

• 开发一种基于平面弦图（含区域、细线与节点）的 2-范畴图示框架。
• 建立双自伴函子的图形演算，实现在平面图中的同伦不变性。
• 通过 Soergel 双模与环 R(ν) 作为范畴化权空间，对量子群的正半部分进行范畴化。
• 通过格罗滕迪克环同构，将图示 2-范畴与量子 sl(n) 的 BLM 形式联系起来。
• 通过引入 U-转弯与完整量子群关系，为量子群的完整范畴化奠定基础。

提出的方法

• 函子在平面图中表示为定向细线，类别标记区域。
• 自然变换表示为节点，恒等变换表示为竖直线或标记区域。
• 通过杯与帽图（单位与上位）编码双自伴性，满足之字形关系以实现同伦不变性。
• 图示法允许自然变换的水平与垂直复合，同伦保持关系不变。
• 2-范畴由环 R(ν) 构建，其不可约投射模范畴化了典范基。
• 2-范畴的格罗滕迪克环同构于量子 sl(n) 的 BLM 形式，权空间通过 R(ν) 的格罗滕迪克群实现范畴化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过图示法表示双自伴函子，以在平面弦图中实现同伦不变性？
• RQ2 Soergel 双模及其对量子群正半部分的范畴化背后的图示结构是什么？
• RQ3 环 R(ν) 及其投射模如何范畴化 U+ 的权空间与典范基元素？
• RQ4 图示法能否扩展以范畴化完整量子群（包括正负两半）？
• RQ5 双自伴函子的 2-范畴在通过图示演算实现量子群完整结构中起什么作用？

主要发现

• 双自伴函子的图示演算通过杯与帽关系实现了同伦不变性，使平面图具有拓扑不变性。
• 由双自伴对构建的函子与自然变换的 2-范畴，支持一种与 Soergel 双模表示理论等价的图形演算。
• 2-范畴的格罗滕迪克环同构于量子 sl(n) 的 BLM 形式，权空间 U+(ν) 通过 R(ν) 的格罗滕迪克群实现范畴化。
• 不可约投射 R(ν)-模对应于 U+ 的典范基元素，实现了典范基的范畴化。
• 通过允许 U-转弯、以整数权标记区域并添加同伦关系，图示法可扩展至对完整量子群的范畴化，如 Lauda 与 Chuang-Rouquier 所示。
• n=2 情况证实了 Frenkel 在 1994 年对量子 sl(2) 范畴化的猜想，该 2-范畴实现了完整量子群的结构。