[论文解读] Invariant Differential Operators on Siegel-Jacobi Space

Jae-Hyun Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文研究了在雅可比群 $G^J = Sp(n,\mathbb{R}) \ltimes H_\mathbb{R}^{(n,m)}$ 作用下，Siegel-Jacobi 空间 $Σ_{n,m} = \mathbb{H}_n \times \mathbb{C}^{(m,n)}$ 上的不变微分算子。它建立了 $T_{n,m}$ 上 $U(n)$-不变多项式代数与 $G^J$-不变微分算子代数 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ 之间的典范线性双射，并给出了此类算子的显式构造，包括当 $n=1$、$m$ 任意时的三阶卡西米尔型算子，该算子生成了向量值形式微分算子代数的中心。

ABSTRACT

For two positive integers $m$ and $n$, we let ${\mathbb H}_n$ be the Siegel upper half plane of degree $n$ and let ${\mathbb C}^{(m,n)}$ be the set of all $m imes n$ complex matrices. In this article, we study differential operators on the Siegel-Jacobi space ${\mathbb H}_n imes {\mathbb C}^{(m,n)}$ that are invariant under the natural action of the Jacobi group $Sp(n,{\mathbb R}\ltimes H_{\mathbb R}^{(n,m)}$ on ${\mathbb H}_n imes {\mathbb C}^{(m,n)}$, where $H_{\mathbb R}^{(n,m)}$ denotes the Heisenberg group. We give some explicit invariant differential operators. We present important problems which are natural. We give some partial solutions for these natural problems.

研究动机与目标

• 研究 Siegel-Jacobi 空间 $\mathbb{H}_n \times \mathbb{C}^{(m,n)}$ 上在雅可比群 $G^J = Sp(n,\mathbb{R}) \ltimes H_\mathbb{R}^{(n,m)}$ 自然作用下不变的微分算子。
• 在 $T_{n,m}$ 上的 $U(n)$-不变多项式代数与 $G^J$-不变微分算子代数 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ 之间建立典范线性双射。
• 识别 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ 的显式生成元，并解决该代数结构的自然问题，特别是当 $n=1$ 时的情形。
• 定义并分析 Maass-Jacobi 形式作为代数 $\mathbb{D}_{\rho,\mathcal{M}}$ 的中心的特征函数，该代数由 $|_{\rho,\mathcal{M}}$-反演不变微分算子构成。

提出的方法

• 利用雅可比群的伴随作用，在多项式代数 $\mathrm{Pol}(T_{n,m})$ 上诱导出 $U(n)$ 的表示 $\tau$，从而导出 $U(n)$-不变多项式子代数 $\mathrm{Pol}(T_{n,m})^{U(n)}$。
• 从 $\mathrm{Pol}(T_{n,m})^{U(n)}$ 构造到 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ 的典范线性双射，尽管该映射非乘法性，表明 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ 是非交换的。
• 引入 $G^J$ 对 $\mathbb{H}_{n,m}$ 上取值于光滑 $V_\rho$-值函数的 $|_{\rho,\mathcal{M}}$-反演作用，推广了自守变换律。
• 定义与 $|_{\rho,\mathcal{M}}$-反演作用可交换的微分算子代数 $\mathbb{D}_{\rho,\mathcal{M}}$，并研究其中心 $\mathcal{Z}_{\rho,\mathcal{M}}$。
• 构造了不变微分算子的显式例子，包括当 $n=1$、$m$ 任意时的三阶卡西米尔算子 $\mathcal{C}^{k,\mathcal{M}}$，该算子生成中心 $\mathcal{Z}_{\det^k,\mathcal{M}}$。
• 将该理论应用于定义 Maass-Jacobi 形式为 $\mathcal{Z}_{\rho,\mathcal{M}}$ 的特征函数，满足特定的生长条件与变换性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Siegel-Jacobi 空间 $\mathbb{H}_n \times \mathbb{C}^{(m,n)}$ 上，$G^J$-不变微分算子代数 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ 的显式生成元是什么？
• RQ2 代数 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ 的结构如何与 $T_{n,m}$ 上 $U(n)$-不变多项式代数相关联？
• RQ3 对于给定表示 $\rho$ 与指标 $\mathcal{M}$，$|_{\rho,\mathcal{M}}$-反演不变微分算子代数 $\mathbb{D}_{\rho,\mathcal{M}}$ 的中心 $\mathcal{Z}_{\rho,\mathcal{M}}$ 是什么？
• RQ4 能否显式构造出当 $n=1$ 且 $m$ 任意时的三阶卡西米尔型微分算子？它是否能生成中心 $\mathcal{Z}_{\det^k,\mathcal{M}}$？
• RQ5 此类不变微分算子的特征函数是什么？它们与 Maass-Jacobi 形式有何关联？

主要发现

• 当 $n=1$ 且 $m$ 任意时，代数 $\mathbb{D}_{\det^k,\mathcal{M}}$ 的中心 $\mathcal{Z}_{\det^k,\mathcal{M}}$ 由单个三阶卡西米尔算子 $\mathcal{C}^{k,\mathcal{M}}$ 生成。
• $\mathcal{C}^{k,\mathcal{M}}$ 是一个 $|_{\det^k,\mathcal{M}}$-反演不变微分算子，在 $\mathbb{H}_{1,m}$ 上的光滑函数上作用为三阶微分算子。
• Poincaré 级数 $\mathcal{P}_{k,\mathcal{M}}$ 是一个调和 Maass-Jacobi 形式，即满足 $\mathcal{C}^{k,\mathcal{M}}\mathcal{P}_{k,\mathcal{M}} = 0$，亦即其特征值为零的特征函数。
• 拉普拉斯算子 $\Delta_{1,1;1,1}$ 的显式特征函数包括 $y^{1/2}K_{s-1/2}(2\pi|a|y)e^{2\pi i a x}$，其特征值为 $s(s-1)$，以及同特征值的单项式如 $y^s$、$y^s x$、$y^s u$。
• 代数 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ 是非交换的，因为从 $\mathrm{Pol}(T_{n,m})^{U(n)}$ 到 $\mathbb{D}(\mathbb{H}_{n,m})$ 的典范双射不是乘法映射。
• Maass-Jacobi 形式的理论通过 $\mathcal{Z}_{\rho,\mathcal{M}}$ 的特征函数定义，其满足 $\Gamma_{n,m}$ 下的变换律、特征值条件以及在无穷远处的特定生长条件。