[论文解读] Invariant embeddings of unimodular random planar graphs

Itaï Benjamini, Ádám Timár|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文证明，一个具有有限期望度数的遍历、单模、随机单连通平面图，当且仅当其为不变可约时，可嵌入于欧几里得平面中，且该嵌入为等距不变且局部有限。对于非可约图，此类嵌入存在于双曲平面中。结果被推广至单模镶嵌，通过不变点过程（欧几里得情形）和圆盘密铺（双曲情形）进行构造，为单连通图提供了完整的二分法。

ABSTRACT

Consider an ergodic unimodular random one-ended planar graph $\G$ of finite expected degree. We prove that it has an isometry-invariant locally finite embedding in the Euclidean plane if and only if it is invariantly amenable. By "locally finite" we mean that any bounded open set intersects finitely many embedded edges. In particular, there exist invariant embeddings in the Euclidean plane for the Uniform Infinite Planar Triangulation and for the critical Augmented Galton-Watson Tree conditioned to survive. Roughly speaking, a unimodular embedding of $\G$ is one that is jointly unimodular with $\G$ when viewed as a decoration. We show that $\G$ has a unimodular embedding in the hyperbolic plane if it is invariantly nonamenable, and it has a unimodular embedding in the Euclidean plane if and only if it is invariantly amenable. Similar claims hold for representations by tilings instead of embeddings.

研究动机与目标

• 确定一个具有有限期望度数的遍历单模随机单连通平面图，何时可存在等距不变且局部有限的欧几里得平面或双曲平面嵌入。
• 通过将图的不变可约性与单模嵌入和镶嵌的存在性联系起来，刻画其存在性。
• 提供构造性方法——在欧几里得情形下使用不变点过程，在双曲情形下使用圆盘密铺——以构建此类嵌入与镶嵌。
• 在单模嵌入与平面镶嵌的背景下，解决可约与非可约图之间的二分法。
• 将框架扩展至包含镶嵌表示形式，并阐明单模性在保持等距变换下不变性中的作用。

提出的方法

• 通过从合适的不变点过程作为顶点集出发，构造一个等距不变的欧几里得平面嵌入，确保所得嵌入图是单模的。
• 利用双曲几何的刚性特性，使用圆盘密铺技术，为双曲平面中的不变非可约图构造单模嵌入。
• 将单模嵌入定义为图与其嵌入的联合分布为单模，从而确保在自同构下保持平稳性。
• 通过反证法证明，欧几里得嵌入的必要条件是不变可约性，方法是构造平面被正方形划分的不变随机划分。
• 通过在每个面中随机选取一点并连接其邻居，将镶嵌问题约化为嵌入问题，同时保持不变性与局部有限性。
• 应用Aldous与Lyons [1] 关于Palm测度的结果，证明不变嵌入的Palm版本在可约情形下为单模嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个具有有限期望度数的遍历单模随机单连通平面图，在何种条件下可存在等距不变且局部有限的欧几里得平面嵌入？
• RQ2 每个不变非可约的单模随机平面图是否都可单模地嵌入于双曲平面？
• RQ3 是否存在此类图在欧几里得或双曲平面中的单模镶嵌表示形式？其存在条件为何？
• RQ4 不变可约性与对称空间（如欧几里得平面与双曲平面）中单模嵌入或镶嵌的存在性之间有何关系？
• RQ5 底层空间的几何性质（欧几里得 vs. 双曲）如何影响单模嵌入的构造可能性？

主要发现

• 一个具有有限期望度数的遍历单模随机单连通平面图，当且仅当其为不变可约时，可存在等距不变且局部有限的欧几里得平面嵌入。
• 对于不变非可约图，存在双曲平面中的单模局部有限嵌入，但不存在欧几里得平面中的此类嵌入。
• 上述二分法同样适用于单模镶嵌表示：可约图可在欧几里得平面中实现此类镶嵌，非可约图可在双曲平面中实现。
• 在所有单模镶嵌构造中，包含原点的面的期望面积为有限值，从而保证了局部有限性。
• 欧几里得情形下“仅当”方向的证明依赖于通过平面的随机划分构造不变的有限耗尽，从而强制可约性。
• 可约情形的构造利用了不变嵌入的Palm版本，其单模性通过Aldous与Lyons [1] 的论证得以证明。