[论文解读] Invariant Fibrations for some Birational Maps of C^2

Anna Cima, Sundus Zafar|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过分析通过爆破技术与Picard群动力学得到的不变纤维丛，识别并分类了ℂ²上代数熵为零的双有理映射。证明了代数熵为零当且仅当映射是周期的或存在首次积分，且对两种情况分别给出了显式纤维丛：当α₁是单位根时为线性纤维丛，否则为有理纤维丛。

ABSTRACT

In this article we extract and study the zero entropy subfamilies of a certain family of birational maps of the plane. We find these zero entropy mappings and give the invariant fibrations associated to them.

研究动机与目标

• 对形如f(x,y) = (α₀+α₁x+α₂y, (β₀+β₁x+β₂y)/(γ₀+γ₂y))的双有理映射进行分类，找出代数熵为零的所有情况。
• 确定与这些代数熵为零的映射相关的不变纤维丛，提供动力学结构。
• 刻画映射为周期性或存在首次积分的参数条件。
• 应用爆破技术与Picard群动力学分析奇点与轨道碰撞。
• 在仿射等价意义下，建立零代数熵情形的完整分类，扩展了对Bedford-Kim映射的先前研究。

提出的方法

• 在奇点处进行爆破以解析奇点并把映射延拓到射影平面。
• 应用Picard群追踪映射的拉回作用在除子类上的行为。
• 分析F与F⁻¹的奇点之间的轨道碰撞，以检测有限轨道。
• 通过动力学度计算迭代的次数序列以确定代数熵。
• 利用特征多项式的结构识别首次积分与不变纤维丛。
• 将问题简化为α₂ ≠ 0与α₂ = 0两种情形，并对每种情形分别给出分类定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定的双有理映射族中，哪些参数值使得代数熵为零？
• RQ2 该族中代数熵为零的映射相关联的不变纤维丛是什么？
• RQ3 F与F⁻¹的奇点之间的轨道碰撞如何决定代数熵为零的行为？
• RQ4 在何种条件下映射是周期的，这与首次积分的存在性有何关联？
• RQ5 当代数熵为零时，这些映射的动力学能否通过纤维丛完全描述？

主要发现

• 代数熵为零当且仅当迭代次数序列的度数为有界或线性增长。
• 当α₁是单位根时，映射f的周期为2n，且函数W₁ = V₁²ⁿ，W₂ = V₂²ⁿ是独立的首次积分。
• 当α₂ ≠ 0时，不变纤维丛由V₁(x,y) = x与V₂(x,y) = y给出，且V₁在f下不变。
• 当α₂ = 0且α₁ⁿ = 1时，映射f为2n周期，纤维丛V₁(x,y) = x与V₂(x,y) = y被保持。
• 当α₀ = 0且β₂ = 0时，映射φ(x,y) = (V₁(x,y), V₂(x,y))是双有理的，且将f共轭于线性映射(√α₁x, -√α₁y)。
• 当fᵖ(α₀, β₂) = (0,0)对某个p成立时，度数序列变为(2p+2)-周期，且f本身为(2p+2)-周期，满足f²ᵖ⁺²(x,y) = (x,y)。