[论文解读] Invariant means and finite representation theory of C*-algebras

Nathanial P. Brown|ArXiv.org|Apr 1, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 37被引用 66

一句话总结

本文引入并分析了单C*-代数中的可约迹（amenable traces）作为有界算子上的不变平均（invariant means），确立了其在有限表示理论中的作用。证明了可约迹恰好对应于有限维逼近性质（Kirchberg的可提升迹），并将该结果应用于Popa代数，表明其具有丰富的II₁-因子表示，对Connes的嵌入问题和分类程序具有重要意义。

ABSTRACT

Various subsets of the tracial state space of a unital C*-algebra are studied. The largest of these subsets has a natural interpretation as the space of invariant means. II_1-factor representations of a class of C*-algebras considered by Sorin Popa are also studied. These algebras are shown to have an unexpected variety of II_1-factor representations. This general theory is related to various other problems as well. Applications include: (1) A characterization of R^ω-embeddable factors in terms of Lance's WEP. (2) A classification theorem for certain simple, nuclear C*-algebras with unique trace. (3) For a self-adjoint operator there always exists a filtration such that the finite section method (from numerical analysis) works as well as could be hoped for. (4) New examples of non-tracially AF algebras which answer negatively questions of Sorin Popa and Huaxin Lin.

研究动机与目标

• 发展C*-代数中可约迹的一般理论，将其视为B(H)上的不变平均。
• 通过有限维逼近性质刻画可约迹，扩展Kirchberg关于可提升迹的结果。
• 研究Popa代数的II₁-因子表示，证明其可具有广泛多样的此类表示。
• 将可约迹与算子代数中的主要开放问题（包括Connes的嵌入问题和Elliott分类程序）联系起来。

提出的方法

• 将可约迹定义为在A上满足单位变换下可延拓为B(H)上不变态的态。
• 证明可约迹恰好是满足Kirchberg有限维逼近（可提升）性质的迹。
• 利用GNS构造将可约迹与有限维表示及II₁-因子表示联系起来。
• 通过其内部有限维逼近性质分析Popa代数，类似于超有限II₁-因子R的性质。
• 将该理论应用于构造新的II₁-因子表示示例，并分析K-同调与数值分析中的障碍。
• 通过迹空间结构建立与分类、嵌入问题及拟对角性的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有可约迹是否都源于B(H)上的不变平均，且该刻画是否独立于A的具体表示？
• RQ2 Popa代数是否可具有丰富的II₁-因子表示，何种结构条件可保证这一点？
• RQ3 对双曲群Γ，C*(Γ)上的标准迹是否可约，这是否与嵌入到R^ω有关？
• RQ4 能否构造一个具有WEP和忠实迹但非拟对角的C*-代数？
• RQ5 若一个群von Neumann代数R^ω-可嵌入，是否意味着其均匀嵌入到希尔伯特空间？

主要发现

• 可约迹恰好是那些可延拓为B(H)上不变平均的迹，且它们正是具有有限维逼近（可提升）性质的迹。
• 由内部有限维逼近性质定义的Popa代数，可具有广泛多样的II₁-因子表示。
• 对于许多C*-代数（包括核代数和精确代数），可约迹空间非空，且与拟对角性及WEP密切相关。
• 对所有剩余有限群，C*(Γ)上的标准迹是可约的，而双曲群的情形仍为开放问题。
• 在可约迹空间中存在忠实迹，可推出拟对角性，但其逆命题尚不明确。
• 本文为Connes的嵌入问题提供了新见解，表明若L(Γ)具有R^ω-可嵌入性，则在某些猜想成立时，其可均匀嵌入到希尔伯特空间。