[论文解读] Invariant Measures for Path-Dependent Random Diffusions

Jianhai Bao, Jinghai Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用 5

一句话总结

该论文在遍历条件下，证明了由连续时间马尔可夫链驱动的路径相关随机扩散过程的不变测度的存在性与唯一性，并证明了其在 Wasserstein 距离下指数收敛于平衡态。此外，还表明当步长足够小时，Euler-Maruyama 时间离散化方法可保持这些遍历性质，克服了通过新颖的指数泛函估计方法对马尔可夫跳跃过程进行离散化时带来的挑战。

ABSTRACT

In this work, we are concerned with existence and uniqueness of invariant measures for path-dependent random diffusions and their time discretizations. The random diffusion here means a diffusion process living in a random environment characterized by a continuous time Markov chain. Under certain ergodic conditions, we show that the path-dependent random diffusion enjoys a unique invariant probability measure and converges exponentially to its equilibrium under the Wasserstein distance. Also, we demonstrate that the time discretization of the path-dependent random diffusion involved admits a unique invariant probability measure and shares the corresponding ergodic property when the stepsize is sufficiently small. During this procedure, the difficulty arose from the time-discretization of continuous time Markov chain has to be deal with, for which an estimate on its exponential functional is presented.

研究动机与目标

• 建立具有连续时间马尔可夫链分量的路径相关随机扩散过程的不变概率测度的存在性与唯一性。
• 在遍历条件下，证明此类扩散过程在 Wasserstein 距离下指数收敛于平衡态。
• 利用 Euler-Maruyama 格式将这些遍历性质推广至时间离散化版本。
• 解决对连续时间马尔可夫链进行时间离散化所带来的挑战，该过程在长期行为分析中引入了额外困难。
• 为结合随机切换、路径依赖性和噪声的路径相关随机扩散过程，提供一个严格的分析框架。

提出的方法

• 利用 Lyapunov 型条件及对底层马尔可夫链的遍历性假设，建立长期稳定性。
• 应用 Wasserstein 距离衡量收敛至平衡态的程度，从而实现对混合速率的定量估计。
• 结合耦合论证与 Gronwall 型不等式，控制路径相关设定下解的增长。
• 推导出对时间离散化马尔可夫链的指数泛函的新估计，以处理数值格式的长期行为。
• 采用 Euler-Maruyama 格式进行时间离散化，并证明在步长足够小时，不变测度得以保持。
• 在泛函分析框架下，应用 M-矩阵技巧与扩展的 Veretennikov-Khasminski 条件，处理无限维状态空间的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在遍历条件下，具有连续时间马尔可夫链分量的路径相关随机扩散过程是否具有唯一的不变概率测度？
• RQ2 此类过程在 Wasserstein 距离下的收敛至平衡态是否可量化？
• RQ3 路径相关随机扩散过程的 Euler-Maruyama 离散化是否保持不变测度的存在性与唯一性？
• RQ4 对马尔可夫跳跃过程的时间离散化如何影响数值格式的长期行为与遍历性？
• RQ5 在分析中，为控制离散化马尔可夫链的指数泛函，需要哪些新估计？

主要发现

• 在指定的遍历条件下，路径相关随机扩散过程具有唯一的不变概率测度。
• 该过程在 Wasserstein 距离下以指数速率收敛至其不变测度，收敛速率由遍历性参数决定。
• 当步长足够小时，Euler-Maruyama 时间离散化方法也具有唯一的不变概率测度。
• 离散化格式继承了指数遍历性性质，确保长期稳定性和收敛至平衡态。
• 推导出对时间离散化连续时间马尔可夫链的指数泛函的新估计，从而实现对数值格式长期行为的分析。
• 通过考虑路径相关解的无限维性质的泛函分析框架，建立了上述结果。