[论文解读] Invariant measures for stochastic functional differential equations with superlinear drift term

Abdelhadi Es–Sarhir, Onno van Gaans+1 more|ArXiv.org|Mar 11, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文通过证明片段过程的紧致性与Feller性质，建立了带超线性漂移和任意Lipschitz扩散系数的随机泛函微分方程的不变测度的存在性。利用李雅普诺夫函数、柯尔莫哥洛夫准则及单调性论证，证明了在漂移满足耗散性和增长条件时，即使扩散系数无有界性或小量假设，片段过程也存在不变测度。

ABSTRACT

We consider a stochastic functional differential equation with an arbitrary Lipschitz diffusion coefficient depending on the past. The drift part contains a term with superlinear growth and satisfying a dissipativity condition. We prove tightness and Feller property of the segment process to show existence of an invariant measure.

研究动机与目标

• 建立具有超线性漂移和一般Lipschitz扩散系数的随机泛函微分方程（SFDEs）的不变测度存在性。
• 通过引入稳定化的超线性漂移项，克服先前结果中对有界或小量扩散系数的限制。
• 在无限维空间 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$ 中证明片段过程的紧致性，该问题在确定性情况下因缺乏紧致性而具有挑战性。
• 证明片段过程的Feller性质，从而可应用Krylov-Bogoliubov定理以证明不变测度的存在性。
• 通过允许扩散系数无界并放宽其Lipschitz常数的约束，推广现有结果。

提出的方法

• 将SFDE表示为片段过程 $x_t(\theta) = x(t+\theta)$，$\theta \in [-r,0]$，其在Banach空间 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$ 中演化。
• 使用李雅普诺夫函数技术，建立片段过程的概率有界性，从而在无限维状态空间中确保紧致性。
• 对SDE的伊藤积分部分应用柯尔莫哥洛夫准则，控制样本路径的振荡，确保噪声分量的紧致性。
• 基于漂移的耗散性条件，采用单调性论证，证明片段过程的Feller性质。
• 通过结合紧致性与Feller性质，利用Krylov-Bogoliubov定理，得出不变测度存在的结论。
• 验证假设 $\mathbf{(H_0)}$、$\mathbf{(H_1)}$ 和 $\mathbf{(H_2)}$ 足够保证不变测度的存在性，即使 $h$ 退化时亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有超线性漂移和任意Lipschitz扩散系数的随机泛函微分方程会存在不变测度？
• RQ2 在不假设确定性流具有紧致性的前提下，能否在无限维空间 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$ 中建立片段过程的紧致性？
• RQ3 当扩散系数无界或退化时，如何证明片段过程的Feller性质？
• RQ4 在SFDEs不变测度存在性理论中，扩散系数的Lipschitz常数可被放宽到何种程度？
• RQ5 在保持不变测度存在性的同时，漂移的耗散性条件能否被弱化？

主要发现

• 即使在扩散系数无有界性或小量假设下，SFDE解的片段过程在 $C([-r,0],\mathbb{R}^d)$ 中仍具有紧致性。
• 片段过程满足Feller性质，该性质通过单调性论证及初始条件收敛时解在 $L^4$ 中的收敛性得以证明。
• 在假设 $\mathbf{(H_0)}$、$\mathbf{(H_1)}$ 和 $\mathbf{(H_2)}$ 成立时，片段过程存在不变测度，该结论由Krylov-Bogoliubov定理保证。
• 即使扩散系数 $h$ 退化（即不变测度唯一性不保证），该存在性结果仍然成立。
• 耗散性条件 $\lim_{|v|\to\infty} \frac{\langle f(v),v\rangle}{|v|^2} = -\infty$ 可弱化为 $\limsup_{|v|\to\infty} \frac{\langle f(v),v\rangle}{|v|^2} < -\lambda$，其中 $\lambda$ 足够大，且依赖于 $L$、$r$ 和 $h(0)$。
• 该证明方法具有鲁棒性，适用于具有超线性漂移和Lipschitz系数的一般SFDE类，扩展了以往要求扩散系数较小或有界的结论。