[论文解读] Invariant probabilities for discrete time Linear Dynamics via Thermodynamic Formalism

Artur O. Lopes, Ali Messaoudi+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Advanced Banach Space Theory参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文通过热力学形式化理论的创新性应用，证明了在非自反巴拿赫空间（如 $c_0(\mathbb{R})$ 和 $l^p(\mathbb{R})$，其中 $1 \leq p < \infty$）上，加权移位算子存在不变、遍历且具有全支撑的 σ-可加概率测度。通过为 Hölder 连续势函数引入转移算子 $\mathcal{L}_A$，并利用核上的先验测度，作者利用 Ruelle-Perron-Frobenius 定理证明了唯一 Gibbs 态的存在，从而将结果从自反空间推广至更广泛的情形。

ABSTRACT

We show the existence of invariant ergodic $σ$-additive probability measures with full support on $X$ for a class of linear operators $L: X o X$, where $L$ is a weighted shift operator and $X$ either is the Banach space $c_0(\mathbb{R})$ or $l^p(\mathbb{R})$ for $1\leq p

研究动机与目标

• 在非自反巴拿赫空间（如 $c_0(\mathbb{R})$ 和 $l^p(\mathbb{R})$）上，为离散时间线性动力系统建立不变、遍历且具有全支撑的 σ-可加概率测度的存在性。
• 将热力学形式化理论的应用范围从此前局限于紧致或自反空间的情形，扩展至具有非平凡核的广泛线性算子类。
• 提出一种基于非逼近方法的新型构造 Gibbs 测度的方式，以区别于标准遍历理论中的技术手段，适用于无穷维线性动力系统。
• 刻画在何种条件下，线性算子核上的先验测度可被视为“适配的”，以确保对偶转移算子收敛至唯一不动点。

提出的方法

• 将 Ruelle-Perron-Frobenius 定理适配于作用在 $X = c_0(\mathbb{R})$ 或 $l^p(\mathbb{R})$ 上连续函数空间的转移算子 $\mathcal{L}_A$，其定义基于有界 Hölder 连续势函数 $A$。
• 引入作用在 $X$ 上概率测度的 1-沃瑟斯坦空间上的对偶算子 $\mathcal{L}_A^*$，以确保其收敛至唯一不动点。
• 要求在线性算子 $L$ 的核上存在一个先验概率测度 $m$，并给出 $m$ 为“适配”的条件，以保证迭代对偶算子的紧致性与收敛性。
• 利用 Prokhorov 定理与紧致性估计，证明对偶算子轨道的序列紧致性，从而得出极限测度的存在性。
• 在沃瑟斯坦距离下应用压缩映射原理，证明对偶算子的迭代收敛至唯一不动点，即 Gibbs 测度。
• 通过 $m$ 的多项式与指数尾部条件建立适配测度的判别准则，确保收敛性所必需的可 summability 条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用热力学形式化理论，在非自反巴拿赫空间（如 $c_0(\mathbb{R})$ 和 $l^1(\mathbb{R})$）上，为加权移位算子构造不变、遍历且具有全支撑的概率测度？
• RQ2 当定义在 $L$ 的核上的先验测度 $m$ 满足何种条件时，对偶转移算子 $\mathcal{L}_A^*$ 收敛至唯一不动点？
• RQ3 如何将 Ruelle-Perron-Frobenius 定理适配于无穷维、非紧致情形，其中标准紧致性失效？
• RQ4 权重 $d_n$ 的增长速度与 $m$ 的尾部行为需满足何种充分条件，才能保证 Gibbs 态的存在？

主要发现

• 在 $X = c_0(\mathbb{R})$ 或 $l^p(\mathbb{R})$（$1 \leq p < \infty$）上，概率测度的 1-沃瑟斯坦空间中，对偶转移算子 $\mathcal{L}_A^*$ 的唯一不动点为 Gibbs 概率测度。
• 所构造的 Gibbs 测度在 $X$ 上是不变、遍历且具有全支撑的，即使 $X$ 为非自反空间（如 $c_0(\mathbb{R})$ 或 $l^1(\mathbb{R})$）亦成立。
• 当核上的先验测度 $m$ 为适配测度时，Gibbs 测度的存在性得以保证，这在 $m$ 具有阶数 $\gamma > 1$ 的多项式尾部且满足 $n^\ell / d_n \in X$（其中 $\ell > \gamma^{-1}$）时成立。
• 对于指数尾部，若 $((\log n)/d_n) \in X$，则 $m$ 为适配测度，当 $d_n$ 指数增长时该条件成立。
• 通过对偶算子 $\mathcal{L}_A^*$ 在沃瑟斯坦距离下的压缩性论证，证明其收敛至 Gibbs 测度，表明任意两个初始测度的迭代序列之间的距离趋于零。
• 该方法提供了一种全新的、非基于逼近的不变测度构造方式，与以往依赖于自反空间中稠密轨道的方法有本质区别。