[论文解读] Inverse Mellin Transform of Holonomic Sequences

Jakob Ablinger|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2016

Mathematics and Applications参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于全纯函数与递推求解符号计算框架的逆梅林变换计算方法，利用梅林变换的对偶性，在 HarmonicSums 软件包中实现该方法，能够对由全纯递推定义的序列进行闭式求值，结果以嵌套求和与特殊函数的线性组合形式表达。

ABSTRACT

We describe a method to compute the inverse Mellin transform of holonomic sequences, that is based on a method to compute the Mellin transform of holonomic functions. Both methods are implemented in the computer algebra package HarmonicSums.

研究动机与目标

• 开发一种算法化方法，用于计算全纯序列的逆梅林变换。
• 将现有全纯函数梅林变换技术扩展至其逆问题。
• 在全息求和（HarmonicSums）计算机代数系统中实现该方法，以支持实际的符号计算。
• 将逆梅林变换表示为不定嵌套求和与特殊函数（如 polylogarithm 和对数）的线性组合。
• 处理超出简单指数缩放的一般形式的逆梅林变换，包括多个基函数。

提出的方法

• 该方法利用生成函数实现全纯函数与全纯序列之间的对偶性。
• 通过微分方程运算和单项式导数的梅林变换，推导出给定全纯函数的梅林变换的全纯递推关系。
• 利用 Sigma 软件包求解递推关系，获得以嵌套求和与乘积表示的 d’Alembertian 解。
• 对于逆变换，该方法将序列分解为形如 $ c^n \cdot \mathbf{M}[f(x)](n) $ 的分量，然后分别对每个分量进行逆变换。
• 系统性地识别出满足序列匹配关系 $ \sum_i c_i^n \cdot \mathbf{M}[f_i(x)](n) + d $ 的底层全纯函数 $ f_i(x) $ 和常数 $ c_i $。
• 该方法涉及求解候选函数的线性微分方程，并通过符号计算与递推关系比较验证梅林变换匹配性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用符号方法算法化地计算全纯序列的逆梅林变换？
• RQ2 如何将全纯函数的梅林变换进行逆变换，以闭式形式恢复原始函数？
• RQ3 当序列是全纯序列时，哪些类函数可从其梅林变换中重建？
• RQ4 逆变换能否表示为具有指数前因子的更简单全纯函数的梅林变换的线性组合？
• RQ5 嵌套求和与特殊函数在表示全纯序列的逆梅林变换中起什么作用？

主要发现

• 全纯序列的逆梅林变换可表示为全纯函数的梅林变换的线性组合，每个分量均乘以指数因子 $ c_i^n $。
• 该方法成功计算出 $ f_n = \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^i}{i} \sum_{j=1}^i \frac{1}{2^j j} $ 的逆梅林变换，结果为 $ \mathbf{M}\left[\frac{\log(2-x)}{2+x}\right](n) $、$ \mathbf{M}\left[\frac{1}{1+x}\right](n) $ 以及包含 $ \operatorname{Li}_2(1/4) $、$ \pi^2 $ 和 $ \log^2(2) $ 的常数项的组合。
• 序列 $ \sum_{i=1}^n \frac{1}{(-2)^i i} $ 的逆变换被证明对应于 $ \mathbf{M}\left[\frac{1}{2+x}\right](n) $，证实了该方法能够恢复具有对数分量的有理函数。
• 序列 $ \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^i}{i} $ 的逆变换被确定为 $ \mathbf{M}\left[\frac{1}{1+x}\right](n) $，并附加一个涉及 $ \log(2) $ 的修正项，展示了该方法在处理交错调和级数时的精确性。
• 该方法正确识别出 $ f_n $ 的逆梅林变换为 $ \frac{-1}{(-2)^n} \mathbf{M}\left[\frac{\log(2-x)}{2+x}\right](n) + (-1)^n \log(2) \cdot \mathbf{M}\left[\frac{1}{1+x}\right](n) + \text{常数} $，且常数项被显式计算。
• 该方法已完全集成于 HarmonicSums 软件包中，可自动计算数学物理与数论中复杂序列的逆梅林变换。