[论文解读] Inverse semigroup C*-algebras associated with left cancellative semigroups

Magnus Dahler Norling|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

semigroups and automata theory参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文通过证明在特定条件下，左可消半群 $S$ 的左逆包 $I_l(S)$ 的全与约化 C*-代数分别同构于 Xin Li 的代数 $C^*(S)$ 和 $C^*_r(S)$，建立了 Xin Li 的半群 C*-代数与逆半群 C*-代数之间的精确联系。关键结果是：从 $C^*(S)$ 到 $C^*_r(S)$ 的典范映射是同构当且仅当群 $G(S)$ 上的某个 C*-丛是可约的，从而推广了 Nica 的可约性条件。

ABSTRACT

To each discrete left cancellative semigroup $S$ one may associate a certain inverse semigroup $I_l(S)$, often called the left inverse hull of $S$. We show how the full and the reduced C*-algebras of $I_l(S)$ are related to the full and reduced semigroup C*-algebras for $S$ recently introduced by Xin Li, and give conditions ensuring that these algebras are isomorphic. Our picture provides an enhanced understanding of Li's algebras.

研究动机与目标

• 澄清左可消半群的 Xin Li 全与约化 C*-代数与逆半群 C*-代数之间的结构关系。
• 确定 Li 的 $C^*(S)$ 与 $C^*_r(S)$ 同构于左逆包 $I_l(S)$ 的全与约化 C*-代数的精确条件。
• 通过用 $G(S)$ 上的 C*-丛可约性表达，推广 Nica 对拟格序群的可约性条件。

提出的方法

• 将左逆包 $I_l(S)$ 构造为左乘算子 $\lambda_s$ 生成的逆半群，由于左可消性，这些算子是双射。
• 将典范的 *-同态 $C^*(S) \to C^*_r(S)$ 定义为通过 $C^*_0(I_l(S))$ 与 $C^*_{r,0}(I_l(S))$ 的复合映射，从而将 Li 的代数与逆半群代数联系起来。
• 利用 Milan 的弱包含与 C*-丛可约性理论，刻画映射 $\Lambda_0: C^*_0(I_l(S)) \to C^*_{r,0}(I_l(S))$ 为同构的条件。
• 证明 $\Lambda_0$ 是同构当且仅当由 $B_g = \overline{\text{span}}\{\lambda_t^*\lambda_s : st^{-1} = g\}$ 定义的群 $G(S)$ 上的 C*-丛 $\{B_g\}_{g\in G}$ 是可约的。
• 证明当 $S$ 嵌入可约群时，C*-丛是可约的，因此 $\Lambda_0$ 是同构，且 $C^*(S) \to C^*_r(S)$ 是同构。
• 证明对于满足 Clifford 条件或具有独立可构造右理想的半群，在可约性或群嵌入条件下，同构关系成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于左可消半群 $S$，典范映射 $C^*(S) \to C^*_r(S)$ 在何种条件下是同构？
• RQ2 Xin Li 的 $C^*(S)$ 与 $C^*_r(S)$ 如何与左逆包 $I_l(S)$ 的全与约化 C*-代数相关？
• RQ3 群 $G(S)$ 上的 C*-丛 $\{B_g\}_{g\in G}$ 何时是可约的，这与 $C^*(S)$ 与 $C^*_r(S)$ 的同构有何关系？
• RQ4 群 $G(S)$ 的可约性在多大程度上蕴含 $C^*(S)$ 与 $C^*_r(S)$ 的核性？
• RQ5 Nica 对拟格序群的可约性条件能否通过 $G(S)$ 上的 C*-丛结构恢复？

主要发现

• 从 $C^*(S)$ 到 $C^*_r(S)$ 的典范映射是同构当且仅当群 $G(S)$ 上的 C*-丛 $\{B_g\}_{g\in G}$ 是可约的。
• 当 $S$ 嵌入可约群时，C*-丛 $\{B_g\}_{g\in G}$ 是可约的，因此 $C^*(S) \to C^*_r(S)$ 是同构，且两个代数均为核代数。
• 对于满足 Clifford 条件的半群，映射 $\eta: C^*(S) \to C^*_0(I_l(S))$ 是同构，且 $C^*(S) \to C^*_r(S)$ 是同构当且仅当 C*-丛 $\{B_g\}_{g\in G}$ 是可约的。
• 若 $S$ 是可消且左可逆的，则 $C^*_0(I_l(S))$ 是核代数当且仅当 $S$ 是左可约的。
• 当 $S$ 是左可逆时，映射 $S \mapsto C^*(I_l(S))$ 关于到群的同态是函子性的，通过最大群同态像 $G(S)$ 实现。
• 对于 GCD 环 $R$ 上的 $ax+b$-半群，典范映射 $C^*(R \rtimes R^\times) \to C^*_r(R \rtimes R^\times)$ 是同构，且该代数是核代数。