[论文解读] Inverse semigroups with rational word problem are finite

Tara Brough|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2013

semigroups and automata theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明了具有有理词问题的反演半群——即表示同一元素的词对集合可由双带异步有限自动机识别——必然是有限的。证明通过单生成元反演半群的结构分析完成，表明唯一的无限候选者——单生成元自由反演半群——由于词等价性中存在类似泵引理的矛盾，不可能具有有理词问题。

ABSTRACT

This note proves a generalisation to inverse semigroups of Anisimov's theorem that a group has regular word problem if and only if it is finite, answering a question of Stuart Margolis. The notion of word problem used is the two-tape word problem -- the set of all pairs of words over a generating set for the semigroup which both represent the same element.

研究动机与目标

• 解决斯图尔特·马戈利斯提出的问题：是否存在具有有理词问题的无限反演半群？
• 将阿尼西莫夫定理（即群具有正则词问题当且仅当其为有限群）推广至反演半群类。
• 通过分析单生成元反演半群的结构，证明唯一具有有理词问题的反演半群是有限的。
• 证明单生成元自由反演半群——唯一可能具有有理词问题的无限反演半群——实际上被有理性条件所排除。
• 通过自动机理论与半群理论技术，建立反演半群中具有有理词问题蕴含有限性的结论。

提出的方法

• 将双带词问题定义为在生成集上表示半群中同一元素的词对关系。
• 使用异步有限状态自动机（AFSA）形式化有理词问题的概念，其中接受依赖于对两个输入带的并行但非同步读取。
• 应用已知结果：有理词问题与生成集的选择无关，且具有有理词问题的半群的有限生成子半群也属于该类。
• 分析单生成元反演半群的分类：周期型、无限循环型、双循环型或自由单生成元反演半群。
• 对识别自由单生成元反演半群词问题的AFSA使用泵引理论证，表明其会接受无效的词对。
• 通过在自由反演半群的标准模型中计算，证明某些词对虽被自动机接受但实际在半群中不相等，从而与自动机的正确性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在具有有理词问题的无限反演半群？
• RQ2 在反演半群中，有理词问题条件是否如在群中一样蕴含有限性？
• RQ3 单生成元自由反演半群——唯一可能具有有理词问题的无限反演半群——是否实际上被有理性条件所排除？
• RQ4 反演半群的有理词问题结构能否被完全刻画，且是否排除所有无限例子？
• RQ5 双带自动机模型如何约束反演半群中词的等价性，特别是在非自由情形下？

主要发现

• 唯一具有有理词问题的反演半群是有限的，这将阿尼西莫夫定理推广至反演半群类。
• 单生成元自由反演半群不具有有理词问题，其矛盾源于自动机泵引理与标准模型中词等价性的冲突。
• 识别自由单生成元反演半群词问题的异步有限自动机将接受在半群中不相等的词对，与正确性矛盾。
• 该证明依赖于以下事实：具有有理词问题的半群的无限子半群必须包含无限阶元素，而此类元素在反演半群中会导致自由单生成元反演半群的出现。
• 有理词问题半群中不存在双循环幺半群和无限子群，进一步限制了反演半群中可能存在的无限结构。
• 该结果确认，有理词问题在反演半群类中是一个强有限性条件，类似于群中词问题的正则性。