[论文解读] Inverting the Markovian projection, with an application to local stochastic volatility models

Daniel Lacker, Mykhaylo Shkolnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了反向马氏投影所生成的一类二维 McKean–Vlasov SDE 的强平稳解的存在性与唯一性，从而实现了具有预设边缘分布和更丰富动态特性的局部随机波动率模型的构建。关键贡献在于证明：当波动率乘数函数的平方形式下，不变分布可分解为乘积形式，从而在平稳状态下确保了各分量的独立性。

ABSTRACT

We study two-dimensional stochastic differential equations (SDEs) of McKean--Vlasov type in which the conditional distribution of the second component of the solution given the first enters the equation for the first component of the solution. Such SDEs arise when one tries to invert the Markovian projection developed by Gyöngy (1986), typically to produce an Itô process with the fixed-time marginal distributions of a given one-dimensional diffusion but richer dynamical features. We prove the strong existence of stationary solutions for these SDEs, as well as their strong uniqueness in an important special case. Variants of the SDEs discussed in this paper enjoy frequent application in the calibration of local stochastic volatility models in finance, despite the very limited theoretical understanding.

研究动机与目标

• 为局部随机波动率模型校准中反向马氏投影的理论基础提供补充。
• 建立由此类反向投影所引出的一类二维 McKean–Vlasov SDE 的平稳解的存在性与唯一性。
• 刻画由此类 SDE 所产生的不变分布，特别是当波动率乘数函数为平方形式时的情形。
• 为保持平稳乘积形式分布的时间改变扩散过程提供严谨的数学框架。

提出的方法

• 构建一个二维 SDE，其中第一分量的漂移和扩散系数依赖于第二分量函数的条件期望。
• 对系数（漂移、扩散及乘数函数）施加正则性与遍历性条件，以确保强存在性与唯一性。
• 应用 Fokker-Planck 方程与平稳测度分析，刻画联合过程的不变分布。
• 通过时间改变扩散过程的解释，证明当乘数函数为平方形式时，不变测度保持乘积形式。
• 应用遍历理论与弱唯一性（通过 Trevisan 定理）结果，识别出唯一的平稳分布律。
• 证明在条件 $ h \equiv f^2 $ 下，SDE 的不变测度为各分量边际不变测度的乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由反向马氏投影所引出的二维 McKean–Vlasov SDE 具有强平稳解？
• RQ2 在何种条件下，此类 SDE 的不变分布可分解为边际分布的乘积？
• RQ3 平方乘数函数 $ f^2 $ 在确保平稳状态下分量独立性方面起到何种作用？
• RQ4 时间改变扩散过程如何保持与原 SDE 相同的不变测度？
• RQ5 在系数的正则性假设最小化的情况下，能否建立平稳解的弱唯一性？

主要发现

• 在假设 A 成立下，二维 SDE (1.5) 存在唯一的强平稳解。
• 当 $ h \equiv f^2 $ 时，SDE 的不变分布为乘积测度，意味着在平稳状态下分量相互独立。
• 第一分量的平稳分布律与原始一维扩散过程的边际分布律一致，从而保持了目标分布。
• 当 $ h \equiv f^2 $ 时，不变密度 $ p(x,y) $ 显式表示为 $ m_1(x) m_2(y) $，其中 $ m_1 $ 与 $ m_2 $ 分别为各分量 SDE 的平稳密度。
• 时间改变过程 $ (X_{\tau_t}, Y_t) $，其中 $ \tau_t = \int_0^t f^2(Y_s) ds $，尽管时间变化非恒定，其不变分布与原 SDE 相同。
• 平稳解在分布上唯一，且当 $ h \equiv f^2 $ 时，在不变测度下各分量相互独立。