[论文解读] Investigations on $c$-Boomerang Uniformity and Perfect Nonlinearity

Pantelimon Stănică|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文引入了 $c$-Boomerang 正則性，作為使用 $c$-差分的 Boomerang 正則性之新擴展，並對所有特徵下的完美非線性函數與反函數，其行為進行了特徵化。本文建立了與 Walsh 轉換的聯繫，並證明反函數的 $c$-BCT 最大項值至多為 4，且在特定條件下可達此值。

ABSTRACT

We defined in~\cite{EFRST20} a new multiplicative $c$-differential, and the corresponding $c$-differential uniformity and we characterized the known perfect nonlinear functions with respect to this new concept, as well as the inverse in any characteristic. The work was continued in~\cite{RS20}, investigating the $c$-differential uniformity for some further APN functions. Here, we extend the concept to the boomerang uniformity, introduced at Eurocrypt '18 by Cid et al.~\cite{Cid18}, to evaluate S-boxes of block ciphers, and investigate it in the context of perfect nonlinearity and related functions.

研究动机与目标

• 將 Boomerang 正則性的概念擴展至 $c$-差分，引入 $c$-Boomerang 正則性作為分析分組密碼中 S-Box 的新工具。
• 研究 $c$-Boomerang 正則性在所有有限域特徵下之完美非線性函數與反函數中的行為。
• 透過 Walsh 轉換特徵化 $c$-Boomerang 正則性，將先前針對傳統 Boomerang 正則性的結果予以推廣。
• 確定反函數之最大可能 $c$-BCT（Boomerang 連接表）項值，並識別達成這些值的條件。

提出的方法

• 使用 $c$-差分框架定義 $c$-Boomerang 正則性，將傳統 Boomerang 攻擊分析擴展至乘法差分。
• 透過對 $x$ 進行各種代換，從 $c$-差分條件推導出 $c$-BCT 項值之方程組系統。
• 運用代數幾何與域論技術，分析有限域上二次方程的解數，以判斷其具有單一或兩根之條件。
• 利用 Walsh 轉換特徵化 $c$-Boomerang 正則性，推廣 Lie 等人針對傳統 Boomerang 正則性的方法。
• 透過考慮 $\mathbb{F}_{p^n}$ 中反函數的所有 $x$ 可能情況，分析 $c$-Boomerang 系統，進而對解數進行分類。
• 利用所得二次方程的判別式，判斷存在一個或兩個解，並識別不同情況下解集之間的重疊。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $c$-差分將 $c$-Boomerang 正則性概念推廣至傳統 Boomerang 正則性？
• RQ2 反函數在 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上之最大可能 $c$-BCT 項值為何？在何種條件下可達此值？
• RQ3 $c$-Boomerang 正則性與 Walsh 轉換有何關係？是否能以類似傳統 Boomerang 正則性之方式進行特徵化？
• RQ4 完美非線性函數是否具有有界之 $c$-Boomerang 正則性？與其傳統差分正則性相比如何？
• RQ5 在何種條件下，$c$-Boomerang 系統之多組解集會重疊？這些重疊如何影響 $c$-BCT 項值？

主要发现

• 反函數之 $c$-BCT 最大項值至多為 4，且在 $c$ 上特定代數條件下可達此值。
• 當第 5 種情況（一般情況）與第 1 種與第 2 種情況同時或第 3 種與第 4 種情況同時結合時，$c$-BCT 最大項值 4 會出現，顯示解的貢獻存在重疊。
• 條件 $1+2c-2c^2+2c^3+c^4=0$ 將導致 $c$-BCT 項值增加 2，且此條件成立當且僅當 $p=19$ 且 $c=4$ 或 $c=4^{-1}$。
• 不同情況下解集之間的重疊極為罕見，僅在特定多項式恆等式成立時發生，例如 $b_3$ 與 $b_4$ 相等時，需滿足 $1-2c-2c^2-2c^3+c^4=0$。
• 由各情況推導出之二次方程之判別式，決定了解的數量：零個、一個或兩個，取決於判別式是否為 $\mathbb{F}_{p^n}^*$ 中的二次剩餘。
• $c$-BCT 項值完全由對 $x$ 的五種不同情況求解決定，且因重疊解數有限，最終最大值受到限制。