[论文解读] Involutions of the moduli spaces of $G$-Higgs bundles over elliptic curves

Indranil Biswas, Luis Ángel Calvo Pascual+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 11

一句话总结

本文系统地分类了在椭圆曲线上 $G$-Higgs丛模空间上的全纯与反全纯对合，其中 $G$ 是一个复半单群。它描述了这些对合的固定点轨线，并通过非交换 Hodge 对应关系，显式地几何刻画了伪实 $G$-Higgs丛的模空间，将 Higgs丛模空间与基本群的表示联系起来。

ABSTRACT

We present a systematic study of involutions on the moduli space of $G$-Higgs bundles over an elliptic curve $X$, where $G$ is complex reductive affine algebraic group. The fixed point loci in the moduli space of $G$-Higgs bundles on $X$, and in the moduli space of representations of the fundamental group of $X$ into $G$, are described. This leads to an explicit description of the moduli spaces of pseudo-real $G$-Higgs bundles over $X$.

研究动机与目标

• 对椭圆曲线 $X$ 上 $G$-Higgs丛模空间 $\mathcal{M}(G)$ 上的全纯与反全纯对合作出分类。
• 在 Higgs丛模空间与表示模空间中，描述这些对合的固定点轨线。
• 通过非交换 Hodge 对应关系，显式地给出伪实 $G$-Higgs丛模空间的几何描述。
• 通过定理 1.1 的同胚关系，将 $\mathcal{M}(G)$ 上的对合与表示空间 $\mathcal{R}(G)$ 上的相应对合联系起来。

提出的方法

• 利用非交换 Hodge 对应关系，将 $G$-Higgs丛与 $\pi_1(X)$ 的表示联系起来，从而在 $\mathcal{M}(G)$ 与 $\mathcal{R}(G)$ 之间传递对合结构。
• 分析 $G$ 上的全纯与反全纯对合 $\sigma_\epsilon$ 以及 $X$ 上的对合 $\alpha_\epsilon$，通过 $\sigma_\epsilon$ 的拉回与扭作，定义 $\mathcal{M}(G)$ 上的诱导对合 $I(\alpha_\epsilon, \sigma_\epsilon, \pm)$。
• 利用 Weyl 群作用与 $Z^\sigma_-$ 中阶为二的中心元素，通过上同调数据 $H^1_{\omega_z}(\sigma_-, W)$ 对固定点轨线的分支进行分类。
• 利用遗忘态射，证明伪实 $G$-Higgs丛模空间双射于 $T^*\widehat{X} \otimes_\mathbb{Z} \Lambda_T$ 中若干固定分支的并集。
• 利用 $\mathcal{M}(G)_{\text{sm}}$ 上的超凯勒结构，解释复结构与 brane，将其与镜像对称中的 $A$-与 $B$-brane 联系起来。
• 利用李代数中单形与 Weyl 单元的结构，定义与中心元素 $z \in Z_2^{\sigma_-}$ 关联的 Weyl 群元素 $\omega_z$。

实验结果

研究问题

• RQ1 $G$ 与 $X$ 上的全纯与反全纯对合如何在 $G$-Higgs丛模空间 $\mathcal{M}(G)$ 上诱导出对合？
• RQ2 此类对合在 $\mathcal{M}(G)$ 与 $\mathcal{R}(G)$ 中的固定点轨线具有何种几何结构？
• RQ3 如何利用群论与上同调数据显式描述伪实 $G$-Higgs丛模空间？
• RQ4 Weyl 群与阶为二的中心元素在分类固定点轨线分支中起什么作用？
• RQ5 非交换 Hodge 对应关系如何将 $\mathcal{M}(G)$ 上的对合与 $\mathcal{R}(G)$ 上的对合联系起来？

主要发现

• 对合 $I(\alpha_\epsilon, \sigma_\epsilon, \pm)$ 在 $\mathcal{M}(G)$ 上的固定点轨线被描述为由 $H^1_{\omega_z}(\sigma_-, W)$（Weyl 群的扭上同调）索引的若干分支的并集。
• 对于中心元素 $z \in Z_2^{\sigma_-}$，伪实 $G$-Higgs丛模空间为 $\widetilde{\mathcal{M}}(G, t_y \circ \alpha_{(-,a)}, \sigma_-, \pm, z) = \bigcup_{\overline{\omega} \in H^1_{\omega_z}(\sigma_-, W)} \left( T^*\widehat{X} \otimes_\mathbb{Z} \Lambda_T \right)^{\omega(\dot{I}(\alpha_{(-,a)}, \sigma_-, \pm))} / N_W(T^{\omega\sigma_-})$。
• 从伪实 $G$-Higgs丛模空间到 $\widetilde{\mathcal{M}}(G, \dots)$ 的遗忘态射是双射，意味着同构类与固定轨线中分支之间存在一一对应。
• 当 $z = \mathrm{Id}_G$ 时，实 $G$-Higgs丛模空间对应于由 $H^1(\sigma_-, W)$ 分类的分支并集，恢复了经典情形。
• 在 $\mathcal{R}(G)$ 上对应的对合 $J(\alpha_\epsilon, \sigma_\epsilon, \pm)$ 显式描述为 $\left( \mathrm{Hom}(\pi_1(X), \mathbb{C}^*) \otimes_\mathbb{Z} \Lambda_T \right)^{\omega(\dot{J}(\alpha_{(-,a)}, \sigma_-, \pm))} / N_W(T^{\omega\sigma_-})$。
• 固定点轨线的结构被证明位于商空间 $\dot{B}/W$ 的奇点集中，当分支非极大时，确认了 $B^\tau_\omega \subset \mathrm{Sing}(B)$。