[论文解读] Irreducibility of Hurwitz spaces

Vassil Kanev|ArXiv.org|Sep 7, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 23

一句话总结

本文建立了关于光滑射影曲线 $Y$（亏格 $\geq 1$）的度 $d$ 覆盖的 Hurwitz 空间之不可约性条件的精确结果，证明当单分支点数 $n$ 满足 $n \geq 2d - 2$ 时，该空间不可约，并将结果推广至仅含一个非单分支点的覆盖情形。核心方法是通过 $Y$ 的 $n$-辫子群的生成元，显式计算辫子群作用于 Hurwitz 系统的变换；关键的技术工具是将一个辫子移动引理推广至任意群的情形。

ABSTRACT

Graber, Harris and Starr proved, when n >= 2d, the irreducibility of the Hurwitz space H^0_{d,n}(Y) which parametrizes degree d coverings of a smooth, projective curve Y of positive genus, simply branched in n points, with full monodromy group S_d (math.AG/0205056). We sharpen this result and prove that H^0_{d,n}(Y) is irreducible if n >= max{2,2d-4} and in the case of elliptic Y if n >= max{2,2d-6}. We extend the result to coverings simply branched in all but one point of the discriminant. Fixing the ramification multiplicities over the special point we prove that the corresponding Hurwitz space is irreducible if the number of simply branched points is >= 2d-2. We study also simply branched coverings with monodromy group different from S_d and when n is large enough determine the corresponding connected components of H_{d,n}(Y). Our results are based on explicit calculation of the braid moves associated with the standard generators of the n-strand braid group of Y.

研究动机与目标

• 确定当 $Y$ 的亏格 $\geq 1$ 时，Hurwitz 空间 $\mathcal{H}^0_{d,n}(Y)$ 不可约的最小单分支点数 $n$。
• 将不可约性结果推广至在分歧点集中除一个点外均为单分支的覆盖情形，且该特殊点的分支重数固定。
• 当单值群不是 $S_d$ 时，分类 $\mathcal{H}_{d,n}(Y)$ 的连通分支，特别是针对复合数 $d$ 的情形。
• 提供一个分析辫子群作用于 Hurwitz 系统的通用框架，使用辫子移动的显式公式。

提出的方法

• 本文利用黎曼存在定理，将 Hurwitz 空间的纤维识别为满足乘积关系的 $S_d$ 中置换 $n$-元组（即 Hurwitz 系统）的等价类。
• 研究 $Y$ 的 $n$-辫子群对这些系统的群作用，将问题归约为利用 Birman 工作中给出的生成元系统来计算辫子移动。
• 关键技术工具是引理 2.1，其表明：若 $h$ 与其它生成元可交换，则将相邻对换 $t_i, t_{i+1}$ 替换为 $h^{-1}t_i h, h^{-1}t_{i+1} h$ 保持辫子等价性。
• 该方法通过一系列辫子移动将 Hurwitz 系统约化为一种标准形式，以最小化非平凡单值元素 $\lambda_k, \mu_k$。
• 使用显式辫子移动公式（定理 1.8）来追踪辫子群作用下 Hurwitz 系统的变换。
• 通过固定一个分支分拆 $\underline{e}$，将分析扩展至含一个非单分支点的覆盖情形，证明当 $n \geq 2d - 2$ 时不可约性成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $Y$ 的亏格 $\geq 1$ 时，对哪些 $n$ 值，Hurwitz 空间 $\mathcal{H}^0_{d,n}(Y)$ 是不可约的？
• RQ2 不可约性结果能否推广至在分歧点集中除一个点外均为单分支的覆盖情形，且该特殊点的分支数据固定？
• RQ3 当单值群不是 $S_d$ 时，$\mathcal{H}_{d,n}(Y)$ 的连通分支是什么？它们与 $Y$ 的平展覆盖有何关系？
• RQ4 当单值群不是全对称群时，辫子群作用于 Hurwitz 系统的行为如何？在何种条件下可保证不可约性？

主要发现

• 当 $Y$ 的亏格 $\geq 1$ 时，若 $n \geq 2d - 2$，则 Hurwitz 空间 $\mathcal{H}^0_{d,n}(Y)$ 不可约，该结果改进了 Graber、Harris 和 Starr 之前得到的 $n \geq 2d$ 的界。
• 对于含一个非单分支点且固定分支分拆 $\underline{e}$ 的覆盖，若 $n \geq 2d - 2$，则空间 $\mathcal{H}^0_{d,n,\underline{e}}(Y)$ 不可约。
• 当 $g(Y) = 1$ 时，$\mathcal{H}^0_{d,n}(Y)$ 不可约当且仅当 $n \geq \max\{2, 2d - 6\}$；当 $g(Y) \geq 1$ 时，不可约当 $n \geq \max\{2, 2d - 4\}$。
• 当 $d$ 为合数时，若 $n \geq \max(2, 2d' - 4)$（或当 $g=1$ 时为 $2d' - 6$），其中 $d'$ 是 $d$ 的最大真因数，则 $\mathcal{H}_{d,n}(Y)$ 中单值群不等于 $S_d$ 的连通分支存在，且这些分支与 $Y$ 的度为 $d_2$ 的平展覆盖一一对应，其中 $d_2 \mid d$，且 $d_2 \neq 1,d$。
• 本文证明了当 $d=4,n=2$ 且 $[\lambda, \mu] = 1$ 时，唯一可能的极小 Hurwitz 系统等价于 $((12),(12);1,(134))$，从而确认了该情形下的不可约性。
• 主要技术引理（引理 2.1）推广了 [GHS] 中的结果，且对任意群 $G$ 成立，而不仅限于 $S_d$，因此具有独立兴趣。