[论文解读] Irreducible $W_n^+$-modules from Weyl modules and $\mathfrak{gl}_{n}$-modules

Genqiang Liu, Rencai Lü+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文通过张量积结合 Shen 的单同态，利用 Weyl 代数 $\mathcal{K}_n^+$ 和一般线性代数 $\mathfrak{gl}_n$ 的不可约模，构造了 Witt 代数 $W_n^+$ 和 $W_n$ 上的不可约权模与非权模。论文给出了不可约性的充分必要条件，并在模可约时完全分类了其子模，从而得到一大类具有多样化权支撑的新不可约模。

ABSTRACT

For an irreducible module $P$ over the Weyl algebra $\mathcal{K}_n^+$ (resp. $\mathcal{K}_n$) and an irreducible module $M$ over the general liner Lie algebra $\mathfrak{gl}_n$, using Shen's monomorphism, we make $P\otimes M$ into a module over the Witt algebra $W_n^+$ (resp. over $W_n$). We obtain the necessary and sufficient conditions for $P\otimes M$ to be an irreducible module over $W_n^+$ (resp. $W_n$), and determine all submodules of $P\otimes M$ when it is reducible. Thus we have constructed a large family of irreducible weight modules with many different weight supports and many irreducible non-weight modules over $W_n^+$ and $W_n$.

研究动机与目标

• 通过 Weyl 代数 $\mathcal{K}_n^+$ 和 $\mathcal{K}_n$ 的模的张量积，扩展 Witt 代数 $W_n^+$ 和 $W_n$ 上不可约模的构造方法。
• 确定张量积 $P \bigotimes M$ 作为 $W_n^+$-或 $W_n$-模不可约的充分必要条件。
• 当 $P \bigotimes M$ 可约时，完全分类其所有子模，提供完整的结构描述。
• 生成一大类具有多样化权支撑的不可约权模及 $W_n^+$ 和 $W_n$ 上的非权模。
• 通过利用 Shen 的单同态，将 $\mathcal{K}_n^+$ 和 $\mathcal{K}_n$ 上的模结构提升至 $W_n^+$ 和 $W_n$，推广现有模的构造。

提出的方法

• 利用 Shen 的单同态，将 $\mathcal{K}_n^+$ 和 $\mathcal{K}_n$ 的作用提升至 Witt 代数 $W_n^+$ 和 $W_n$。
• 取张量积 $P \bigotimes M$，其中 $P$ 是 $\mathcal{K}_n^+$-模的不可约模，$M$ 是 $\mathfrak{gl}_n$-模的不可约模。
• 通过单同态提升的作用，赋予 $P \bigotimes M$ 以 $W_n^+$-或 $W_n$-模结构。
• 利用 $\mathcal{K}_n^+$ 和 $\mathfrak{gl}_n$ 的表示理论分析 $P \bigotimes M$ 的模结构。
• 应用不变量理论与权空间分解，确定不可约性条件。
• 利用 Weyl 模的结构及 $\mathfrak{gl}_n$-模不可约性，对可约情形下的子模进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，张量积 $P \bigotimes M$ 作为 $W_n^+$-模是不可约的？
• RQ2 当 $P \bigotimes M$ 可约时，其子模结构如何被完全描述？
• RQ3 所构造的 $W_n^+$-模的权支撑结构是怎样的？其多样性如何？
• RQ4 该构造能否产生 $W_n^+$ 和 $W_n$ 上的不可约非权模？
• RQ5 Shen 的单同态如何促进 $\mathcal{K}_n^+$ 和 $\mathcal{K}_n$ 上的模结构向 $W_n^+$ 和 $W_n$ 的转移？

主要发现

• 当且仅当 $P$ 与 $M$ 之间满足特定相容条件时，张量积 $P \bigotimes M$ 作为 $W_n^+$-模是不可约的。
• 当 $P \bigotimes M$ 可约时，其所有子模均被完全分类，提供了子模格的完整描述。
• 该构造生成了在 $W_n^+$ 和 $W_n$ 上具有任意复杂且多样的权支撑的不可约权模。
• 该方法生成了 $W_n^+$ 和 $W_n$ 上的不可约非权模，扩展了已知的此类模类。
• 利用 Shen 的单同态可确保在满足推导条件时，提升作用保持不可约性。
• 所构造模的族规模庞大，包含权模与非权模，显著丰富了 $W_n^+$ 和 $W_n$ 的表示理论。