[论文解读] Irreducible modules over Witt algebras $\mathcal{W}_n$ and over $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$

Haijun Tan, Kaiming Zhao|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文通过将扭结技巧应用于外代数 $\mathcal{K}_n$ 上的模，构造了李代数 $\mathcal{W}_n$ 及其子代数 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$ 的新类不可约模。文中给出了不可约性的必要与充分条件，并确定了同构关系，从而得到了新的无限维非权模，这些模既非广义 Verma 模也非 Whittaker 模，因此扩展了这些李代数不可约表示的分类。

ABSTRACT

In this paper, by using the "twisting technique" we obtain a class of new modules $A_b$ over the Witt algebras $\mathcal{W}_n$ from modules $A$ over the Weyl algebras $\mathcal{K}_n$ (of Laurent polynomials) for any $b\in\mathbb{C}$. We give the necessary and sufficient conditions for $A_b$ to be irreducible, and determine the necessary and sufficient conditions for two such irreducible $\mathcal{W}_n$-modules to be isomorphic. Since $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$ is a subalgebra of $\mathcal{W}_n$, all the above irreducible $\mathcal{W}_n$-modules $A_b$ can be considered as $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-modules. For a class of such $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-modules, denoted by $Ω_{1-a}(λ_1,λ_2,\cdots,λ_n)$ where $a\in\mathbb{C}, λ_1,λ_2,\cdots,λ_n \in \mathbb{C}^*$, we determine the necessary and sufficient conditions for these $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-modules to be irreducible. If the $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-module $Ω_{1-a}(λ_1,λ_2,\cdots,λ_n)$ is reducible, we prove that it has a unique nontrivial submodule $W_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ and the quotient module is the finite dimensional $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-module with highest weight $mΛ_n$ for some non-negative integer $m\in \Z_+$. The necessary and sufficient conditions for two $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-modules $Ω_{1-a}(λ_1,λ_2,\cdots,λ_n)$ and $W_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ to be isomorphic are also determined. The irreducible $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-modules $Ω_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ and $W_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ are new.

研究动机与目标

• 通过将扭结技巧应用于 $\mathcal{K}_n$-模，构造 $\mathcal{W}_n$ 上的新不可约非权模。
• 确定这些 $\mathcal{W}_n$-模 $A_b$ 不可约性的必要与充分条件。
• 研究这些 $\mathcal{W}_n$-模在子代数 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$ 上的限制，从而得到新的 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$。
• 对这些 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模进行不可约性与同构类型的分类，包括其在可约时的唯一非平凡子模。
• 证明所构造的 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模与广义 Verma 模或 Whittaker 模不构同，从而确立其新颖性。

提出的方法

• 将扭结技巧应用于外代数 $\mathcal{K}_n$ 上的不可约模 $A$，对任意 $b \in \mathbb{C}$ 构造新的 $\mathcal{W}_n$-模 $A_b$。
• 通过 $\mathcal{W}_n$ 生成元的作用性质以及底层 $\mathcal{K}_n$-模的结构，确定 $A_b$ 的不可约性。
• $A_b$ 在 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$ 上的限制产生一类记为 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 的 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模，其由参数 $a \in \mathbb{C}$ 和 $\lambda_i \in \mathbb{C}^*$ 参数化。
• 通过比较参数并利用表示论不变量（如权空间结构和生成元作用）对 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模的同构类进行分类。
• 当 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 可约时，证明其具有唯一的非平凡子模 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，且商模为某个 $m \in \mathbb{Z}_+$ 的最高权 $m\Lambda_n$ 的有限维 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模。
• 通过其非局部有限作用和作为 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]$-自由模的结构，将这些模与已知类（如广义 Verma 模和 Whittaker 模）区分开来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $b \in \mathbb{C}$，何时扭结后的 $\mathcal{W}_n$-模 $A_b$ 是不可约的？
• RQ2 何时两个此类不可约 $\mathcal{W}_n$-模 $A_b$ 与 $A'_b$ 作为 $\mathcal{W}_n$-模同构？
• RQ3 对于哪些参数 $a$ 与 $\lambda_i$，$\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 是不可约的？
• RQ4 当 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 可约时，其唯一非平凡子模 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 的结构如何？
• RQ5 所构造的 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模与已知类（如广义 Verma 模和 Whittaker 模）有何不同？

主要发现

• $\mathcal{W}_n$-模 $A_b$ 不可约当且仅当满足关于 $\mathcal{W}_n$ 生成元作用与原始 $\mathcal{K}_n$-模 $A$ 的某些条件，特别是涉及某些微分算子的非零性。
• 两个不可约 $\mathcal{W}_n$-模 $A_b$ 与 $A'_b$ 同构当且仅当它们的参数及底层 $\mathcal{K}_n$-模结构在扭结作用下等价。
• $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 不可约当且仅当 $a \notin \mathbb{Z}$ 且参数 $\lambda_i$ 满足涉及 $\partial_i$ 作用的非退化条件。
• 当 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 可约时，其具有唯一的非平凡子模 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，且商模为最高权 $m\Lambda_n$ 的有限维 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模，其中 $m \in \mathbb{Z}_+$。
• $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 与 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 不同构于任何广义 Verma 模或 Whittaker 模，因为其 $e_{i,j}$（$i \neq j$）的作用非局部有限，且它们是 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]$-自由模。
• 两个 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-模 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 与 $\Omega_{1-a'}(\lambda_1',\dots,\lambda_n')$ 同构当且仅当 $a = a'$ 且对所有 $i$ 有 $\lambda_i = \lambda_i'$，同理适用于相应的 $W$-模。