[论文解读] Irregular Singularities in the H3+ WZW Model

Davide Gaiotto, Joël Lamy-Poirier|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文在$H_3^+$ WZW模型中系统地定义了不规则顶点算符，推广了早期关于Virasoro不规则向量的工作。通过标准最高权算符的碰撞极限，推导出秩-$r$不规则向量的Ward恒等式与共形块，建立了与Liouville理论的对偶性，并给出了关联函数的显式表达式，包括含不规则算符的一点函数。

ABSTRACT

We propose a definition of irregular vertex operators in the H3+ WZW model. Our definition is compatible with the duality [1] between the H3+ WZW model and Liouville theory, and we provide the explicit map between correlation functions of irregular vertex operators in the two conformal field theories. Our definition of irregular vertex operators is motivated by relations to partition functions of N=2 gauge theory and scattering amplitudes in N=4 gauge theory

研究动机与目标

• 在$H_3^+$ WZW模型中定义不规则顶点算符，使其与Liouville–$H_3^+$对偶性相容。
• 将Virasoro代数中不规则向量的形式化推广至$\widehat{sl}(2)$电流代数。
• 通过标准顶点算符的碰撞极限，推导秩-$r$不规则算符的显式Ward恒等式与共形块。
• 建立$H_3^+$ WZW模型中涉及不规则算符的关联函数与Liouville理论之间的映射。
• 为不规则共形块提供一个框架，可用于建模弦世界面理论中不规则奇点，与$\mathcal{N}=4$ SYM散射振幅相关。

提出的方法

• 将不规则顶点算符定义为$H_3^+$ WZW模型中$r+1$个标准最高权顶点算符的碰撞极限。
• 利用$H_3^+$ WZW与Liouville理论之间的对偶性，映射包含不规则算符的关联函数。
• 应用$\Upsilon_b$函数和三线结构常数的渐近分析，计算半经典区域中的碰撞极限。
• 利用$\widehat{sl}(2)$电流代数结构，推导不规则共形块的Ward恒等式。
• 通过在双积分$D^H$中变量替换，计算秩二不规则向量的一点函数，得到一个抛物柱面函数积分。
• 通过与不规则向量一点函数的直接计算结果匹配，确定归一化因子$C(j_0)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在$H_3^+$ WZW模型中一致地定义不规则顶点算符，推广Virasoro情形？
• RQ2 在$\widehat{sl}(2)$电流代数中，包含不规则算符的共形块所满足的Ward恒等式的确切形式是什么？
• RQ3 在$H_3^+$ WZW模型中，不规则算符的关联函数如何通过已知对偶性与Liouville理论中的关联函数关联？
• RQ4 在$H_3^+$模型中，秩二不规则向量的一点函数的显式结构是什么？
• RQ5 标准顶点算符的碰撞极限能否产生一个与规范理论和弦理论中已知物理诠释一致的不规则共形块的描述？

主要发现

• 在$H_3^+$ WZW模型中，秩二不规则向量的一点函数表示为抛物柱面函数积分：$\int_{\mathcal{C}} d\eta d\bar{\eta}~{}|\eta|^{-2(j_0+2)} e^{-\frac{1}{2}\eta^2 + \frac{1}{2}\bar{\eta}^2 - u\eta + u^*\bar{\eta}}$，其中$u$在第3.1节中定义。
• 在碰撞极限下，结构常数$C^H(j^1,j^2,j^3)$的渐近行为导致其对$|q_{ij}|$呈幂律依赖，该依赖关系与$D^H$积分相消，从而得到有限结果。
• 通过将碰撞极限结果与直接计算结果匹配，确定了秩二不规则向量的归一化因子$C(j_0)$，验证了结果的一致性。
• 将$H_3^+$ WZW与Liouville理论之间的对偶映射推广至包含不规则算符的情形，保持了已知的三线结构常数形式。
• 利用$\Upsilon_b$函数的半经典极限，推导出结构常数的渐近行为，这对碰撞极限至关重要。
• 一点函数的最终表达式包含一个相位因子$e^{2i(b^2(j_0+2)+1)\text{Im}(j_1^2/j_2)}$，反映了不规则算符的复结构。