[论文解读] Is submodularity testable?

C. Seshadhri, Jan Vondrák|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 9

一句话总结

该论文研究了是否可以使用属性测试在布尔超立方体上高效测试子模性。它提出了一种基于检测局部子模性违反的自然测试器，并证明其可在亚指数时间内运行，从而建立了首个非平凡的子模性测试器；同时，还表明在某些条件下，由于远离子模性函数中复杂的全局依赖关系，不存在高效的测试器。

ABSTRACT

We initiate the study of property testing of submodularity on the boolean hypercube. Submodular functions come up in a variety of applications in combinatorial optimization. For a vast range of algorithms, the existence of an oracle to a submodular function is assumed. But how does one check if this oracle indeed represents a submodular function? Consider a function f:{0,1}^n ightarrow R. The distance to submodularity is the minimum fraction of values of $f$ that need to be modified to make f submodular. If this distance is more than epsilon > 0, then we say that f is epsilon-far from being submodular. The aim is to have an efficient procedure that, given input f that is epsilon-far from being submodular, certifies that f is not submodular. We analyze a very natural tester for this problem, and prove that it runs in subexponential time. This gives the first non-trivial tester for submodularity. On the other hand, we prove an interesting lower bound (that is, unfortunately, quite far from the upper bound) suggesting that this tester cannot be very efficient in terms of epsilon. This involves non-trivial examples of functions which are far from submodular and yet do not exhibit too many local violations. We also provide some constructions indicating the difficulty in designing a tester for submodularity. We construct a partial function defined on exponentially many points that cannot be extended to a submodular function, but any strict subset of these values can be extended to a submodular function.

研究动机与目标

• 确定是否可以使用属性测试框架在布尔超立方体上测试子模性。
• 分析一种检查局部子模性违反的自然测试器的效率和正确性。
• 理解远离子模性但仅表现出少量局部违反的函数的结构复杂性。
• 研究部分函数无法扩展为子模函数的可证小证书的存在性。
• 探讨局部违反（例如被违反的正方形）与全局子模性距离之间的关系。

提出的方法

• 该论文引入了一种属性测试器，通过随机采样集合对并检查其在诱导的2×2正方形上是否违反子模性条件（即边际值是否非递增）。
• 证明了若一个函数与子模性相距ε，则该测试器可在亚指数时间内以常数概率检测到违反。
• 分析依赖于单调性测试的约化：构造一个函数g，使得g是子模的当且仅当f是单调的，并利用已知的单调性测试下界推导出子模性的下界。
• 构建了一个在指数多点上定义的部分函数，该函数无法扩展为子模函数，但其任意真子集均可扩展，表明非可扩展性无小证书。
• 论文使用一个具有单调且子模边际值的函数h的递归构造，并将其与函数f结合，构建出一个远离子模性但仅有少量局部违反的反例。
• 证明任何单边非自适应子模性测试器需要Ω(√n)次查询，任何自适应测试器需要Ω(log n)次查询，基于从单调性测试下界导出的约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用属性测试框架在布尔超立方体上高效测试子模性？
• RQ2 一个与子模性相距ε的函数中，被违反的正方形的最小密度是多少？
• RQ3 能否将一个在超立方体大子集上定义的部分函数扩展为子模函数？若不能，是否能用小的见证来证明？
• RQ4 局部子模性违反如何与全局子模性距离相关？
• RQ5 是否存在比基于检测被违反正方形的测试器更高效的自适应或非正方形基测试器？

主要发现

• 所提出的子模性测试器可在亚指数时间内运行，为布尔超立方体上的函数提供了首个非平凡的子模性测试器。
• 论文证明了任何单边非自适应子模性测试器需要Ω(√n)次查询，任何自适应测试器需要Ω(log n)次查询，基于从单调性测试导出的约化。
• 存在与子模性相距ε但仅有极少局部违反的函数，表明局部测试可能不足以实现高效的全局检测。
• 可以在指数多点上定义一个部分函数，使其无法扩展为子模函数，但其任意真子集均可扩展，表明非可扩展性无小证书。
• 通过构造一个与子模函数h组合后结果为ε/2远离子模性的函数g，而f本身仅与单调性相距ε，展示了单调性与子模性测试之间存在强关联。
• 结果表明，由于缺乏小的局部障碍以及复杂的全局依赖关系，子模性测试本质上比单调性测试更困难。