[论文解读] Is volume the holographic dual of fidelity susceptibility?

Mudassir Moosa, Ibrahim Shehzad|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文研究了在共形场论（CFT）中，保真度敏感度是否如Miyaji等人所提出的那样，与反 de Sitter（AdS）时空中极大类空切片的体积呈全息对偶关系。通过在 $\mathbb{R} \times H^{d-1}$ 和 $\mathbb{R} \times S^{d-1}$ 上的CFT，作者计算了保真度敏感度与体积极大体积的紫外发散，发现其发散结构一致，但数值系数不一致，因此否定了两者之间精确的全息对偶性。

ABSTRACT

It was proposed by Miyaji et al. that the fidelity susceptibility of a state of a conformal field theory under a marginal deformation is holographically dual to the volume of a maximal time slice in the dual Anti de Sitter spacetime. We study this proposal by analyzing the leading and subleading divergences in these two quantities in two specific scenarios. We find that although the structure of the divergences in these two quantities is similar, their numerical coefficients are inconsistent with an exact relationship between these two quantities.

研究动机与目标

• 检验保真度敏感度在CFT中是否与反 de Sitter 时空中极大体积极大类空切片的体积呈全息对偶的猜想。
• 分析在两种特定CFT背景 $\mathbb{R} \times H^{d-1}$ 和 $\mathbb{R} \times S^{d-1}$ 下，保真度敏感度与体积极大体积在边缘形变下的紫外发散。
• 比较两种量的紫外发散结构与系数，以评估精确全息对偶是否可能成立。
• 使用Fefferman-Graham坐标系，建立CFT紫外截断 $\epsilon$ 与体积极大径向截断 $r_{\text{max}}$ 之间的一致关系。

提出的方法

• 利用边缘算符的两点函数，计算 $\mathbb{R} \times H^{d-1}$ 和 $\mathbb{R} \times S^{d-1}$ 上真空态与热场双态的保真度敏感度。
• 使用标准CFT公式 $G_{\lambda\lambda} = \int d\tau d\tau' \int d^{d-1}x d^{d-1}x' \langle \mathcal{O}(\tau,x) \mathcal{O}(\tau',x') \rangle$，并引入紫外截断 $\epsilon$ 以调节发散。
• 计算双侧AdS-双曲黑洞和全局AdS时空中极大共维数-1类空切片的体积，其中径向截断 $r_{\text{max}}$ 靠近边界。
• 通过Fefferman-Graham坐标系建立CFT紫外截断 $\epsilon$ 与体积极大径向坐标的关系，求解微分方程 $dr / \sqrt{r^2 \mp 1} = dz / z$，边界条件为 $r \to \infty$ 当 $z \to 0$。
• 将保真度敏感度与体积极大体积按 $\epsilon$ 的幂级数展开，以比较主导与次主导紫外发散项。
• 利用关系式 $r_{\text{max}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\xi \epsilon} \pm \xi \epsilon \right)$ 将体积极大截断映射到CFT截断，以实现一致比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边缘形变下的CFT中，保真度敏感度是否表现出与全息对偶AdS时空中极大体积极大切片体积相同的紫外发散结构？
• RQ2 保真度敏感度与体积极大体积之间的数值系数是否与所提出的全息对偶 $G_{\lambda\lambda} \propto V_{\text{max}} / \ell_{\text{AdS}}^d$ 一致？
• RQ3 能否使用Fefferman-Graham坐标系建立CFT紫外截断 $\epsilon$ 与体积极大径向截断 $r_{\text{max}}$ 之间的一致映射？
• RQ4 保真度敏感度与体积极大体积之间的所提对偶关系是否精确？还是在发散项中存在差异？

主要发现

• 保真度敏感度与体积极大体积的主导紫外发散均按 $\epsilon^{1-d}$ 标度，表明具有相似的发散结构。
• 两种量的次主导发散项也表现出相同的函数形式，暗示深层次的结构相似性。
• 尽管发散结构相似，但 $G_{\lambda\lambda}$ 与 $V_{\text{max}}$ 之间的数值系数与所提出的正比关系 $G_{\lambda\lambda} = n_d V_{\text{max}} / \ell_{\text{AdS}}^d$ 不一致。
• 系数的不匹配意味着保真度敏感度并非与体积极大体积精确全息对偶，从而否定了该猜想的精确形式。
• CFT截断 $\epsilon$ 与体积极大径向截断 $r_{\text{max}}$ 之间的关系被推导为 $r_{\text{max}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\xi \epsilon} \pm \xi \epsilon \right)$，从而实现了对发散项的一致比较。