[论文解读] Isogenous decomposition of the Jacobian of generalized Fermat curves

Mariela Carvacho, Rub ́ En A. Hidalgo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文對類型為 $(p,n)$ 的推廣費馬曲線的雅芬比簇進行了同源分解，其中 $p$ 為質數，分解為循環 $p$-多邊形曲線的雅芬比簇之積。作者利用群作用與代數幾何技術，推導出這些 $p$-多邊形曲線的顯式方程，並證明雅芬比簇同源於橢圓曲線或更高維度的雅芬比簇之積，從而提供了具有此類分解的新一族黎曼曲面。

ABSTRACT

A closed Riemann surface $S$ is called a generalized Fermat curve of type $(p,n)$, where $p,n \geq 2$ are integers, if it admits a group $H \cong {\mathbb Z}_{p}^{n}$ of conformal automorphisms so that $S/H$ is an orbifold of genus zero with exactly $n+1$ cone points, each one of order $p$. It is known that $S$ is a fiber product of $(n-1)$ classical Fermat curves of degree $p$ and, for $(p-1)(n-1)>2$, that it is a non-hyperelliptic Riemann surface. In this paper, assuming $p$ to be a prime integer, we provide a decomposition, up to isogeny, of the Jacobian variety $JS$ as a product of Jacobian varieties of certain cyclic $p$-gonal curves. Explicit equations for these $p$-gonal curves are provided in terms of the equations for $S$. As a consequence of this decomposition, we are able to provide explicit positive-dimensional families of closed Riemann surfaces whose Jacobian variety is isogenous to the product of elliptic curves.

研究动机与目标

• 確定推廣費馬曲線的雅芬比簇是否可透過同源分解為低 genus 雅芬比簇的積。
• 提供當 $p$ 為質數時，其雅芬比簇出現在分解中的 $p$-多邊形曲線的顯式方程。
• 構造正維度的黎曼曲面族，其雅芬比簇同源於橢圓曲線之積，以回應關於此類分解的開放性問題。
• 將已知的超elliptic 曲線與費馬曲線結果推廣至具有阿貝爾自同構群的更廣泛非超elliptic 黎曼曲面族。

提出的方法

• 作者使用群作用 $H \triangleleft \text{Aut}(S)$，其中 $H \to \text{Aut}(S)$ 同構於 $\mathbb{Z}_p^n$，分析商曲面 $S/H$ 及其軌形結構。
• 他們應用 Kani-Rosen 定理於具有群作用的曲線雅芬比分解，以推導 $JS$ 的同源分解。
• 針對 $H$ 的每個子群 $H_i$，分析商曲面 $S/H_i$ 以確定其 genus 與符號，進而識別相關的 $p$-多邊形曲線。
• 透過單值性與群作用的考量，從推廣費馬曲線的定義方程出發，構造出 $p$-多邊形曲線的顯式代數方程。
• 該方法依賴於分支點 $r$-元組及其相關單值資料的分類，以定義相關代數曲線 $E_{(a,\alpha)}$ 的不可約分支。
• 利用主極化阿貝爾簇理論與 Poincaré 的完全可約性定理驗證分解結果。

实验结果

研究问题

• RQ1 當 $p$ 為質數時，類型為 $(p,n)$ 的推廣費馬曲線的雅芬比簇是否可透過同源分解為低 genus 曲線雅芬比簇的積？
• RQ2 其雅芬比簇出現在此類分解中的 $p$-多邊形曲線的顯式方程為何？
• RQ3 是否存在正維度的黎曼曲面族，其雅芬比簇同源於橢圓曲線之積，超越已知的超elliptic 情形？
• RQ4 推廣費馬曲線的自同構群結構如何影響其雅芬比簇的同源分解？

主要发现

• 當 $p=2$ 時，具有 $\mathbb{Z}_2^4$ 作用的 genus 5 黎曼曲面，其雅芬比簇同源於 4 梯度橢圓曲線，形成二維族。
• 具有 $\mathbb{Z}_2^5$ 作用的 genus 17 黎曼曲面族，其雅芬比簇同源於橢圓曲線之積，為一維族。
• 具有 $\mathbb{Z}_2^6$ 作用的 genus 49 黎曼曲面，其雅芬比簇同源於 24 梯度橢圓曲線。
• 當 $p=3$ 時，具有 $\mathbb{Z}_3^3$ 作用、商曲面為 genus 0 且具有三個 3 階圓點的 genus 10 黎曼曲面族，其雅芬比簇同源於 5 梯度橢圓曲線與一個 5 維雅芬比簇之積。
• 當 $p=3$ 時，具有 $\mathbb{Z}_3^4$ 作用、商曲面為 genus 0 且具有五個 3 階圓點的 genus 65 黎曼曲面族，其雅芬比簇同源於 40 梯度橢圓曲線與五個 5 維雅芬比簇之積。
• 經典費馬曲線 $F_8$（genus 21）的雅芬比簇同源於 $E_2^{21}$，其中 $E_2: v^2 = u^4 + 1$，從而確認了文獻中的一項猜想。