[论文解读] Isolated points in the space of left orderings of a group

Adam Clay|ArXiv.org|Dec 12, 2008

Finite Group Theory Research参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文研究了群的左序空间中的孤立点，将先前的结果推广至不可数群。证明了不存在稠密左序是孤立的，且稠密序的闭包构成一个与康托集同胚的稠密 $G_{ au}$ 子集。对于辫群，证明了 Dehornoy 序并非孤立，而是其共轭的聚点，尽管它是离散的。

ABSTRACT

Let G be a left orderable group and LO(G) the space of all left orderings. We investigate the circumstances under which a left ordering < of G can correspond to an isolated point in LO(G), in particular we extend known results to cover the case of uncountable groups. With minor technical restrictions on the group G, we also find that no dense left ordering is isolated in LO(G), and that the closure of the set of all dense left orderings of G yields a dense G-delta set within a Cantor set of left orderings in LO(G). Lastly, we show that certain conditions on a discrete left ordering of G can guarantee that it is not isolated in LO(G), and we illustrate these ideas using the Dehornoy ordering of the braid groups.

研究动机与目标

• 确定群的左序在空间 $LO(G)$ 中对应孤立点的条件，特别是针对不可数群。
• 在温和的技术限制下，将文献 [9] 中关于孤立左序的主要结果推广至不可数群。
• 分析 $LO(G)$ 的拓扑结构，特别是稠密序与离散序的作用。
• 通过共轭动力学与凸子群结构，研究辫群的 Dehornoy 序是否孤立。
• 基于其凸子群结构，刻画离散左序为何不孤立。

提出的方法

• 使用左序的正锥表示，将 $LO(G)$ 识别为 $2^G$ 的闭子空间，赋予乘积拓扑。
• 通过正锥的共轭作用在 $LO(G)$ 上引入 $G$-作用，分析轨道聚点。
• 采用 Conradian 核 $C_< (G)$ 和双序凸子群 $B_< (G)$ 作为不变量以检测孤立性。
• 应用 Dehornoy 序的子词性质（S 性质）：对 $\alpha \in B_n^+$，$\beta \in B_n$，有 $\beta \alpha \beta^{-1} \in P_D$。
• 利用移位同态 $sh: B_m \to B_n$（$m < n$）将凸子群识别为移位辫群。
• 证明 Dehornoy 序中所有凸子群同构于 $sh^r(B_{n-r})$，且除 $\langle \sigma_{n-1} \rangle$ 外均不可双序化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，群的左序在 $LO(G)$ 中是孤立的，特别是针对不可数群？
• RQ2 辫群 $B_n$ 的 Dehornoy 序是否可能是 $LO(B_n)$ 中的孤立点？
• RQ3 可数群 $G$ 的稠密左序集合具有何种拓扑结构？
• RQ4 何时离散左序不孤立，其凸子群结构如何影响这一性质？
• RQ5 在 $LO(G)$ 中，稠密序集合的闭包是否构成康托集，且在何种条件下成立？

主要发现

• 在温和的技术条件下，群 $G$ 的任何稠密左序在 $LO(G)$ 中均非孤立。
• 在 $LO(G)$ 中，稠密序集合的闭包是一个与康托集同胚的稠密 $G_{\delta}$ 子集。
• 对于 $n > 2$ 的辫群 $B_n$，Dehornoy 序 $P_D$ 并非孤立，因其是其共轭的聚点。
• 辫群 $B_n$ 的 Dehornoy 序是离散的，其最小正元素为 $\sigma_{n-1}$，且满足子词性质。
• 在 $B_n$ 的 Dehornoy 序中，所有凸子群同构于移位辫群 $sh^r(B_{n-r})$，且除 $\langle \sigma_{n-1} \rangle$ 外均不可双序化。
• 由于 $P_D$ 不包含真包含 $\langle \sigma_{n-1} \rangle$ 的非平凡双序化凸子群，根据定理 4.9，其并非孤立。