[论文解读] Isolated subsemigroups in the variants of T_n

Volodymyr Mazorchuk, Galyna Tsyaputa|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2005

semigroups and automata theory参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文对全变换半群 $\mathcal{T}_n$ 的变体中孤立的、完全孤立的以及凸子半群进行了分类，其中的乘法通过使用幂等元的夹心运算进行变形。作者通过基于稳定秩的三种情况——最大、$l-1$ 和至多 $l-2$——将分析拆分，建立了完整的结构分类，揭示出稳定秩为 $l-1$ 的子半群构成最复杂的类别，而低秩元素则强制在孤立子半群中包含所有低秩元素。

ABSTRACT

We classify all isolated, completely isolated, and convex subsemigroups in the semigroup T_n of all transformations of an n-element set, considered as the semigroup with respect to a sandwich operation.

研究动机与目标

• 对全变换半群 $\mathcal{T}_n$ 的变体中所有孤立的、完全孤立的以及凸子半群进行分类。
• 理解在夹心积 $x*_{a}y = xay$ 下子半群的结构，特别是当夹心元 $a$ 为幂等元时的情况。
• 分析稳定秩在组织分类中的作用，将问题划分为三种情况：最大稳定秩 $l$、$l-1$ 和至多 $l-2$。
• 确定子半群为孤立、完全孤立、左/右凸或凸的条件。
• 提供在例外情况下（如夹心元秩为 1 或 2 时）子半群的显式描述。

提出的方法

• 使用夹心积 $x*_{a}y = xay$，其中 $a$ 为幂等元，不失一般性地将研究简化为 $a$ 为幂等元的同构类。
• 根据元素的稳定秩对子半群进行分类，其中稳定秩是指由元素生成的循环子半群中唯一的幂等元的秩。
• 分析 $\mathcal{T}_n^{(l)}$（即最大稳定秩为 $l$ 的元素集合）的结构，证明其构成一个子半群，且其自然同余的商是一个矩形带。
• 利用从 $\mathcal{T}_n^{(l)}$ 到矩形带的投影，建立该带的子半群与 $\mathcal{T}_n^{(l)}$ 的孤立子半群之间的双射。
• 对稳定秩为 $l-1$ 的元素，将孤立子半群分为三类，其中第一类类似于 $\mathcal{T}_n^{(l)}$ 的情况，其余两类由第一类的多个副本组成。
• 证明：任何包含稳定秩 $\leq l-2$ 元素的孤立子半群，必须包含所有稳定秩 $\leq l-1$ 的元素，从而得出一个强烈的结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathcal{T}_n$ 的变体中，孤立子半群的完整分类是什么？
• RQ2 在 $\mathcal{T}_n$ 的不同变体中，孤立、完全孤立、左/右凸及凸子半群的结构有何差异？
• RQ3 元素的稳定秩在决定孤立子半群结构方面起到什么作用？
• RQ4 为何稳定秩为 $l-1$ 的元素会产生最复杂且非平凡的孤立子半群类别？
• RQ5 当夹心元具有最小或较小秩（例如 1 或 2）时，孤立子半群的结构会发生什么变化？

主要发现

• 在 $\mathcal{T}_n$ 的任意变体中，最大稳定秩为 $l$ 的元素集合 $\mathcal{T}_n^{(l)}$ 构成一个子半群，且 $\mathcal{T}_n^{(l)}$ 的孤立子半群与通过自然商映射得到的矩形带的子半群之间存在双射关系。
• 稳定秩为 $l-1$ 的孤立子半群被划分为三类，第一类类似于 $\mathcal{T}_n^{(l)}$ 的结构，其余两类由第一类的多个副本组成。
• 若一个孤立子半群包含稳定秩 $\leq l-2$ 的元素，则它必须包含所有稳定秩 $\leq l-1$ 的元素，显示出一种强烈的闭包性质。
• 当夹心元的秩为 1 时，孤立子半群恰好为 $\bigcup_{i\in X} \sqrt{\theta_i}$（其中 $X \subset N$ 且非空），且所有孤立子半群均为完全孤立且右凸。
• 对于秩为 2 的夹心元，孤立子半群包括 $F(X,Y)$ 和 $F(X,Y) \cup \mathcal{T}_n^{(1)}$（其中 $X \subset \mathcal{X}$，$Y \subset \mathcal{Y}$ 且非空），而凸子半群仅有 $\mathcal{T}_n$ 和 $\mathcal{T}_n^{(2)}$。
• 当 $n=2$ 时，孤立子半群为 $\mathcal{T}_2$、$\mathcal{S}(\{1,2\})$、$\mathcal{T}_2 \setminus \mathcal{S}(\{1,2\})$，以及两个极大子群 $G(\varepsilon_{1,2})$、$G(\varepsilon_{2,1})$；而完全孤立子半群为前三个。