[论文解读] Isolating Cuts, (Bi-)Submodularity, and Faster Algorithms for Connectivity

Chandra Chekuri, Kent Quanrud|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用 1

一句话总结

本文将隔离割技术从边连通性推广至对称双模函数，实现了超图中全局连通性与子集连通性、元素连通性及点连通性的更快随机化算法。通过利用双模交叉框架与高效的最小割计算，作者获得了更优的时间复杂度，包括超图隔离割的 Õ(√(pn)(m+n)^1.5) 以及对称子模函数的更快速结果。

ABSTRACT

Li and Panigrahi [Jason Li and Debmalya Panigrahi, 2020], in recent work, obtained the first deterministic algorithm for the global minimum cut of a weighted undirected graph that runs in time o(mn). They introduced an elegant and powerful technique to find isolating cuts for a terminal set in a graph via a small number of s-t minimum cut computations. In this paper we generalize their isolating cut approach to the abstract setting of symmetric bisubmodular functions (which also capture symmetric submodular functions). Our generalization to bisubmodularity is motivated by applications to element connectivity and vertex connectivity. Utilizing the general framework and other ideas we obtain significantly faster randomized algorithms for computing global (and subset) connectivity in a number of settings including hypergraphs, element connectivity and vertex connectivity in graphs, and for symmetric submodular functions.

研究动机与目标

• 将隔离割技术从边连通性推广至对称双模函数，涵盖元素连通性与点连通性。
• 构建一个通用框架，以实现超图与对称子模函数中全局连通性与子集连通性的更快随机化算法。
• 通过将隔离割方法应用于非边割函数（如点连通性与元素连通性）来克服先前方法的局限性。
• 通过结合隔离割框架与高效的最小割子程序，实现连通性问题更优的时间复杂度。

提出的方法

• 将隔离割方法推广至对称双模函数，超越边割范畴，用于建模元素连通性与点连通性。
• 利用双模交叉框架，为每个终端 r 计算顶点不相交的集合 Ur，使得最小 (r, R\{r})-割在 Ur 内部被诱导。
• 将每个隔离割问题规约为在收缩图中的最小 (s,t)-割问题，其中 V\Ur 被收缩为汇点 t。
• 采用两种策略求解子问题：对小规模子图使用边容量最大流，对大规模子图使用阻塞流，并自适应选择参数。
• 应用随机采样与递归分解，将所需最小割计算次数减少至 O(log |R|)。
• 利用已知的边容量最小割（EC）时间复杂度界，推导时间复杂度，包括 EC(m,n) ≤ Õ(m^1+αβ) 的情形，并通过参数优化平衡权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 隔离割技术能否被推广至边割之外，以处理对称双模函数下的连通性问题？
• RQ2 使用该通用框架计算超图中隔离割的时间复杂度是多少？
• RQ3 隔离割方法如何适配元素连通性与点连通性？在标准次模性不直接适用的情况下如何处理？
• RQ4 在该框架产生的子问题中，不同最小割计算策略之间的最优权衡是什么？
• RQ5 该框架能否用于推导对称子模函数中全局连通性的更快随机化算法？

主要发现

• 本文实现了超图中最小隔离割计算的随机化时间复杂度 Õ(√(pn)(m+n)^1.5)，其中 m 为边数，n 为顶点数，总大小为 p。
• 对于无权超图，时间复杂度进一步优化至 Õ(p^{4/3})。
• 该框架对任意满足 EC(m,n) ≤ Õ(m^{1+αβ}) 的 α, β，可给出时间复杂度 Õ(p(m+n)^{3α/(2(1+α))} β^{1/(1+α)})，推广至多种最小割算法。
• 通过递归分解策略，将所需 (s,t)-最小割计算次数从 O(|R|) 减少至 O(log |R|)。
• 该方法可推广至对称子模函数，并通过将它们建模为双模函数，实现元素连通性与点连通性的更快算法。
• 通过将 V\Ur 收缩为单个汇点，框架支持高效计算，确保子问题总大小保持在 O(p) 与 O(n) 以内。