[论文解读] Isometric embeddings in trees and their use in the diameter problem

Guillaume Ducoffe|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 82被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种近似最优的算法，用于计算可拟等距嵌入至 $k$ 棵树系统的图和有限度量空间的直径，时间复杂度为 $\mathcal{O}(2^{\mathcal{O}(k\log k)}(N+n)^{1+o(1)})$，其中 $N$ 为树的总大小。此外，针对嵌入至 $k$ 棵树的强积的情形，提出了一个更快速的 $\mathcal{O}(N + kn)$ 时间算法，并引入了一种新型数据结构，用于高效查询树中节点子集的偏心率。

ABSTRACT

We prove that given a discrete space with $n$ points which is either embedded in a system of $k$ trees, or the Cartesian product of $k$ trees, we can compute all eccentricities in ${\cal O}(2^{{\cal O}(k\log{k})}(N+n)^{1+o(1)})$ time, where $N$ is the cumulative total order over all these $k$ trees. This is near optimal under the Strong Exponential-Time Hypothesis, even in the very special case of an $n$-vertex graph embedded in a system of $ω(\log{n})$ spanning trees. However, given such an embedding in the strong product of $k$ trees, there is a much faster ${\cal O}(N + kn)$-time algorithm for this problem. All our positive results can be turned into approximation algorithms for the graphs and finite spaces with a quasi isometric embedding in trees, if such embedding is given as input, where the approximation factor (resp., the approximation constant) depends on the distortion of the embedding (resp., of its stretch). The existence of embeddings in the Cartesian product of finitely many trees has been thoroughly investigated for cube-free median graphs. We give the first-known quasi linear-time algorithm for computing the diameter within this graph class. It does not require an embedding in a product of trees to be given as part of the input. On our way, being given an $n$-node tree $T$, we propose a data structure with ${\cal O}(n\log{n})$ pre-processing time in order to compute in ${\cal O}(k\log^2{n})$ time the eccentricity of any subset of $k$ nodes. We combine the latter technical contribution, of independent interest, with a recent distance-labeling scheme that was designed for cube-free median graphs.

研究动机与目标

• 开发用于计算可拟等距嵌入至 $k$ 棵树系统的图和有限度量空间中直径的快速算法。
• 设计一种数据结构，支持在 $\mathcal{O}(n\log n)$ 预处理时间下，对树中 $k$ 个节点的子集实现 $\mathcal{O}(k\log^2 n)$ 查询时间的偏心率高效查询。
• 提供首个在无须输入嵌入的前提下，对无立方体中位图实现准线性时间直径计算的算法。
• 在强指数时间假设（SETH）下建立紧致的条件下界，证明所提算法的近似最优性。
• 将结果推广至在树中具有拟等距嵌入的一般度量空间，提供依赖于嵌入畸变的近似算法。

提出的方法

• 利用有限度量空间在 $k$ 棵树系统或 $k$ 棵树的积中的等距与拟等距嵌入，将直径计算问题转化为基于树的计算。
• 在树上引入一种动态规划方法，通过自上而下与自下而上的方式传播值，每个节点维护四种可能状态以捕捉路径端点。
• 在中位图中，对由重心的星形诱导的门控子图（纤维）采用递归的分治策略，利用纤维的凸性与门控性。
• 应用一种距离标签方案用于中位图，以在子图中高效计算距离与顶点权重，从而降低整体运行时间。
• 将上述技术与中位图中的重心分解策略相结合，确保每一层递归处理的顶点数不超过一半，从而实现 $\mathcal{O}(\log n)$ 层。
• 使用改进的BFS算法计算门与顶点到纤维的距离，同时更新顶点权重以反映来自纤维外部的最大偏心率贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可拟等距嵌入至 $k$ 棵树的图或有限度量空间，其直径能否在低于 $\mathcal{O}(n^2)$ 时间内计算？
• RQ2 在嵌入至 $k$ 棵树系统的空间中，计算所有偏心率的最优时间复杂度是多少？其与 $k$ 的依赖关系如何？
• RQ3 是否存在一种无须输入嵌入的、在无立方体中位图中实现近似最优的直径计算算法？
• RQ4 强指数时间假设（SETH）如何限制此类树状空间中直径计算的时间复杂度？
• RQ5 对于在树中具有拟等距嵌入的空间，能否推导出近似算法，其近似因子依赖于嵌入的畸变或拉伸？

主要发现

• 对于 $n$ 个点的有限度量空间，若其可拟等距嵌入至 $k$ 棵树系统，则其直径可在 $\mathcal{O}(2^{\mathcal{O}(k\log k)}(N+n)^{1+o(1)})$ 时间内计算，其中 $N$ 为树的总大小。
• 对于嵌入至 $k$ 棵树的强积的情形，直径可在 $\mathcal{O}(N + kn)$ 时间内计算，显著快于一般情形。
• 本论文提出了首个在无立方体中位图中实现准线性时间直径计算的算法，时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^{1+o(1)})$，在图的维度与度数满足温和条件时成立。
• 提出了一种数据结构，其预处理时间为 $\mathcal{O}(n\log n)$，支持对树中任意 $k$ 个节点子集的偏心率查询，查询时间为 $\mathcal{O}(k\log^2 n)$。
• 该算法的时间复杂度在强指数时间假设（SETH）下被证明是近似最优的，即使对于嵌入至 $\omega(\log n)$ 棵生成树的情形亦成立。
• 对于在树中具有拟等距嵌入的图，本论文提供了近似算法，其近似因子依赖于嵌入的畸变，近似常数依赖于其拉伸。