[论文解读] Diameter computation on $H$-minor free graphs and graphs of bounded (distance) VC-dimension

Guillaume Ducoffe, Michel Habib+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 59被引用 8

一句话总结

本文提出了一种蒙特卡洛算法，能够在真正亚二次时间内计算无权图的直径，这些图的有界距离VC维数，通过利用低穿刺数的生成路径结合ε-网和区域分解。关键贡献在于提出了一种参数化算法，其时间复杂度为Õ(k·mn¹⁻εd)，适用于直径至多为k的图，该算法可推广至所有无处稠密图和H-退化自由图，且具有多项式扩张性质。

ABSTRACT

We propose to study unweighted graphs of constant distance VC-dimension as a broad generalization of many graph classes for which we can compute the diameter in truly subquadratic-time. In particular for any fixed $H$, the class of $H$-minor free graphs has distance VC-dimension at most $|V(H)|-1$. Our first main result is that on graphs of distance VC-dimension at most $d$, for any fixed $k$ we can either compute the diameter or conclude that it is larger than $k$ in time $ ilde{\cal O}(k\cdot mn^{1-\varepsilon_d})$, where $\varepsilon_d \in (0;1)$ only depends on $d$. Then as a byproduct of our approach, we get the first truly subquadratic-time algorithm for constant diameter computation on all the nowhere dense graph classes. Finally, we show how to remove the dependency on $k$ for any graph class that excludes a fixed graph $H$ as a minor. More generally, our techniques apply to any graph with constant distance VC-dimension and polynomial expansion. As a result for all such graphs one obtains a truly subquadratic-time algorithm for computing their diameter. Our approach is based on the work of Chazelle and Welzl who proved the existence of spanning paths with strongly sublinear stabbing number for every hypergraph of constant VC-dimension. We show how to compute such paths efficiently by combining the best known approximation algorithms for the stabbing number problem with a clever use of $\varepsilon$-nets, region decomposition and other partition techniques.

研究动机与目标

• 识别除有界树宽图和平面图之外的广泛图类，使得直径计算可在真正亚二次时间内完成。
• 通过聚焦于具有常数距离VC维数的图，应对在SETH假设下的条件二次时间下界。
• 将现有的直径计算亚二次算法推广至广泛的几何图和稀疏图类，包括所有无处稠密图和H-退化自由图。
• 消除具有多项式扩张性质和常数距离VC维数图中对直径参数k的依赖。
• 将几何技术（如ε-网和区域分解）的应用扩展至图直径计算。

提出的方法

• 提出一种新颖的算法框架，基于在常数VC维数超图中存在具有强亚线性穿刺数的生成路径的性质。
• 应用Chazelle和Welzl关于穿刺数的理论结果，利用ε-网和分层聚类高效构造此类路径。
• 采用基于r-划分和边界顶点分析的递归聚类策略，以管理局部和全局距离计算。
• 使用区域分解和区间覆盖技术，通过在生成路径上被穿刺的区间，高效计算每个顶点u在距离2kᵢ₋₁内的顶点集合。
• 结合正交范围搜索与在生成路径上的动态规划，实现每个顶点的全球邻域在近乎线性时间内计算。
• 通过平衡聚类大小r与聚类数量之间的权衡，优化运行时间，实现常数d下的Õ(n²⁻εd)时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用超越树宽的结构特性，在真正亚二次时间内计算H-退化自由图的直径？
• RQ2 是否存在一个统一的图参数（如距离VC维数），能够捕捉多种稀疏图类中直径计算的可解性？
• RQ3 对于具有常数距离VC维数和多项式扩张性质的图，能否消除对直径参数k的依赖？
• RQ4 几何技术（如ε-网和低穿刺数生成路径）是否能有效推广至非几何图的直径计算？
• RQ5 该框架能否扩展至加权图或其他VC维数无界但具有高效直径计算的图族？

主要发现

• 对于任意距离VC维数至多为d的图，本文提出一种蒙特卡洛算法，可在Õ(k·mn¹⁻εd)时间内计算直径或判断其超过k，其中εd ∈ (0,1) 仅依赖于d。
• 该算法在具有常数距离VC维数的图上实现真正亚二次时间复杂度，包括所有H-退化自由图和无处稠密图类。
• 对于具有多项式扩张性质和常数距离VC维数的图，对k的依赖被消除，从而获得真正亚二次的随机化算法用于直径计算。
• 该方法可推广至半径计算，且时间复杂度保持不变。
• 当r = Θ(n^(εd/(2−β)))时，运行时间优化为Õ(n²⁻εd)，由于β < 1，表明该算法为真正亚二次时间。
• 该方法可扩展至所有具有常数距离VC维数和强亚线性平衡分隔器的图类，包括有界扩张图和正规退化闭包类。