[论文解读] Isometries between leaf spaces

Marcos M. Alexandrino, Marco Radeschi|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文证明了在两种条件下，奇异黎曼叶层的叶空间之间的等距映射是光滑的：当它们保持叶的余维数时，或当叶空间无边界时。关键结果将 Myers–Steenrod 定理推广至轨道空间和奇异黎曼叶层，通过控制正则层上的平均曲率与拉普拉斯结构，表明度量等距映射可提升为光滑映射。

ABSTRACT

In this paper we prove that an isometry between orbit spaces of two proper isometric actions is smooth if it preserves the codimension of the orbits or if the orbit spaces have no boundary. In other words, we generalize Myers-Steenrod's theorem for orbit spaces. These results are proved in the more general context of singular Riemannian foliations.

研究动机与目标

• 确定奇异黎曼叶层的叶空间之间等距映射光滑的条件。
• 将经典的 Myers–Steenrod 定理（关联黎曼流形上的等距映射与光滑结构）推广至非流形的商空间。
• 解决关于轨道空间上的度量结构是否唯一确定光滑结构的开放问题，特别是在恰当等距群作用与奇异叶层的背景下。
• 提供充分条件，使得此类商空间之间的等距映射为光滑映射，即使空间不是轨道丛或流形。

提出的方法

• 使用具有闭叶的奇异黎曼叶层（SRFs）框架，将设定推广至群作用之外的范围。
• 通过光滑基本函数的拉回定义叶空间之间映射的光滑性，与 Schwarz 在商空间上定义的光滑结构保持一致。
• 通过分析正则层上的拉普拉斯算子与平均曲率向量场，证明保持余维数或作用于无边叶空间的等距映射可提升为光滑映射。
• 利用等距映射下光滑基本函数的拉回满足弱拉普拉斯方程的事实，且该性质在余维数 ≥2 的奇点集上保持不变。
• 应用椭圆型偏微分方程的正则性理论，得出即使在低余维奇点处，拉回函数仍为光滑函数。
• 利用 Green 恒等式，并通过奇点集邻域的逼近，将逐点拉普拉斯恒等式推广至整个流形上的弱解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，奇异黎曼叶层的叶空间之间的等距映射是光滑的？
• RQ2 Myers–Steenrod 定理能否推广至非流形或非轨道丛的轨道空间？
• RQ3 保持叶的余维数是否能保证叶空间之间等距映射的光滑性？
• RQ4 叶空间无边界在确保等距映射光滑性方面起什么作用？
• RQ5 正则层上的平均曲率向量场如何影响叶空间之间等距映射的光滑性？

主要发现

• 若两个具有闭叶的奇异黎曼叶层的叶空间之间等距映射保持叶的余维数，则该等距映射是光滑的。
• 若叶空间无边界，则任意此类叶空间之间的等距映射均为光滑映射，即使不保持余维数。
• 证明的关键在于表明等距映射下光滑基本函数的拉回满足弱拉普拉斯方程，由此通过椭圆正则性推得光滑性。
• 为使光滑性结果成立，等距映射必须保持正则层上的平均曲率向量场，以确保拉普拉斯结构的相容性。
• 正则层的补集余维数至少为 2，使得通过积分与逼近可将逐点恒等式推广至弱解。
• 该结果表明，等距轨道丛在 Schwarz 意义下是微分同胚的，从而恢复了轨道丛的经典微分同胚概念。