[论文解读] Isomorphisms in l^1-homology

Clara Loeh|ArXiv.org|Dec 20, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文通過對偶巴拿赫鏈複化，建立了 ℓ¹-同調與有界上同調之間的對偶原理，使有界上同調中的結構結果能轉移到 ℓ¹-同調。本文證明 ℓ¹-同調僅依賴於基本群，並利用投射化解析構造提供同調代數描述，彌補了先前工作的漏洞，並為非緊流形的單純體積提供了新見解。

ABSTRACT

Taking the l^1-completion and the topological dual of the singular chain complex gives rise to l^1-homology and bounded cohomology respectively. In contrast to l^1-homology, major structural properties of bounded cohomology are well understood by the work of Gromov and Ivanov. Based on an observation by Matsumoto and Morita, we derive a mechanism linking isomorphisms on the level of homology of Banach chain complexes to isomorphisms on the level of cohomology of the dual Banach cochain complexes and vice versa. Therefore, certain results on bounded cohomology can be transferred to l^1-homology. For example, we obtain a new proof of the fact that l^1-homology depends only on the fundamental group and that l^1-homology with twisted coefficients admits a description in terms of projective resolutions. The latter one in particular fills a gap in Park's approach. In the second part, we demonstrate how l^1-homology can be used to get a better understanding of simplicial volume of non-compact manifolds.

研究动机与目标

• 透過對偶巴拿赫鏈複化，建立 ℓ¹-同調與有界上同調之間的同構關係的對偶機制。
• 彌補先前方法中的漏洞，特別是 Park 的不完整證明，關於 ℓ¹-同調對基本群的依賴性。
• 利用強相對投射化解析構造，為 ℓ¹-同調提供同調代數框架。
• 將 ℓ¹-同調應用於理解非緊流形的單純體積，特別是在其為有限或非零時的情況。

提出的方法

• 發展一種轉譯原理，將巴拿赫鏈複化同調中的同構轉化為其對偶上同調中的同構。
• 將此原理應用於拓撲空間與離散群的 ℓ¹-鏈複化與有界上鏈複化。
• 利用對偶性，將有界上同調中已知結果（如對基本群的依賴性與可約性判據）轉移到 ℓ¹-同調。
• 應用基於 ∂-ℓ¹-無形性的單純體積有限性準則，分析非緊流形。
• 構造具有衰減 ℓ¹-範數的局部有限週環，以證明在某些乘積情形下單純體積的消失。
• 利用均勻邊界條件與相對基本週環，從下界控制單純體積。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℓ¹-同調是否僅依賴於基本群，如同有界上同調一樣？
• RQ2 ℓ¹-同調與有界上同調之間的對偶關係能否形式化，以轉移結構性結果？
• RQ3 如何利用同調代數（特別是投射化解析）來描述 ℓ¹-同調？
• RQ4 非緊流形中單純體積的有限性或非零性由何決定？
• RQ5 能否利用邊界的 ∂-ℓ¹-無形性來特徵化乘積流形單純體積為有限或無限的條件？

主要发现

• 可數連通 CW 複形的 ℓ¹-同調僅依賴於基本群，確認了一項猜想並提供了新證明。
• 離散群的可約性可由其在一階 ℓ¹-同調中消失來特徵化。
• 連通可數 CW 複形的 ℓ¹-同調與其基本群的 ℓ¹-同調一致，且可透過強相對投射化解析計算。
• 若從閉流形 M 中移除點而得到非緊流形 N，且 M 的單純體積非零，則 N 的單純體積為有限且正。
• 若 M 是 ∂-ℓ¹-無形的，則乘積流形 M×ℝ 的單純體積為零；否則為無限，提供了此類乘積的精確判據。
• 對於邊界虧格 ≥1 的緊曲面 M，其 M∘×ℝ 的單純體積為無限，因其邊界非 ∂-ℓ¹-無形。