[论文解读] It\^o's formula for flow of measures on semimartingales

Xin Guo, Huyên Pham+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文将伊藤公式推广至由一般半鞅驱动的测度流，通过逼近柱状多项式，推广了先前针对伊藤过程的结果。核心贡献在于为带跳变和奇异控制的麦克斯韦-弗拉索夫SDE构建了严谨的随机微积分框架，从而在平均场随机控制领域开启了新的应用。

ABSTRACT

We state Ito's formula along a flow of probability measures associated with general semimartingales. This extends recent existing results for flow of measures on Ito processes. Our approach is to first prove Ito's formula for cylindrical polynomials and then use function approximation for the general case. Some applications to McKean- Vlasov controls of jump-diffusion processes and McKean-Vlasov singular controls are developed.

研究动机与目标

• 将伊藤公式从伊藤过程推广至测度值随机过程背景下的广义半鞅。
• 为广义扩散过程之外的测度流上的随机微积分建立理论基础。
• 使带跳变扩散与奇异控制的麦克斯韦-弗拉索夫随机控制问题的分析成为可能。
• 为将伊藤型微积分系统性地推广至非马尔可夫、依赖测度的动力系统提供方法。
• 通过测度流弥合经典伊藤微积分与平均场随机控制之间的鸿沟。

提出的方法

• 在测度值半鞅背景下，将伊藤公式推导至柱状多项式，作为基础步骤。
• 利用函数逼近技术，将公式从多项式推广至一般可测函数。
• 将该框架应用于由广义半鞅生成的测度流，不限于连续伊藤过程。
• 利用半鞅的结构，将其动力学分解为局部鞅与有限变差分量。
• 构建沿随机流演化的概率测度的一致随机微积分。
• 将推导出的公式应用于求解带跳变扩散与奇异控制分量的麦克斯韦-弗拉索夫控制问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将伊藤公式推广至由广义半鞅而非仅伊藤过程驱动的测度流？
• RQ2 在测度值设定下，将随机微积分从多项式推广至一般函数所需的数学技术是什么？
• RQ3 所扩展的伊藤公式能否支持对带跳变扩散动力学的麦克斯韦-弗拉索夫控制问题的分析？
• RQ4 奇异控制的引入如何影响测度值伊藤公式的结构？
• RQ5 该框架对非马尔可夫性与跳变扩散动力学下的平均场随机控制有何影响？

主要发现

• 本文成功地将伊藤公式推广至由广义半鞅驱动的测度流，推广了先前仅限于伊藤过程的成果。
• 基于柱状多项式的新型逼近方法，使一般可测函数的公式推导成为可能。
• 该框架支持通过扩展微积分分析涉及跳变扩散过程的麦克斯韦-弗拉索夫控制问题。
• 该方法为同时包含扩散与跳变分量的测度值过程提供了统一的随机微积分。
• 该成果为利用测度流动力学研究奇异麦克斯韦-弗拉索夫控制奠定了理论基础。
• 该方法具有足够鲁棒性，可处理平均场控制设定中非马尔可夫性与路径依赖的动力学。