[论文解读] Iterated icons

Eugenia Cheng, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通过在对称单幕双范畴中使用增强图标作为2-胞态的迭代构造方法，用于弱增强范畴。当该方法在Cat上应用两次时，得到一个部分严格三范畴的对称单幕双范畴，且通过限制到双重退化对象，恢复了2-重单幕范畴的双范畴，从而完成了高阶范畴的周期表。

ABSTRACT

We study the totality of weakly enriched in a monoidal bicategory using a notion of enriched icon as 2-cells. We show that when the monoidal bicategory in question is symmetric then this process can be iterated. We show that starting from the symmetric monoidal bicategory Cat and performing the construction twice yields a convenient symmetric monoidal bicategory of partially strict tricategories. We show that restricting to the doubly degenerate ones immediately gives the correct bicategory of 2-tuply monoidal categories missing from our earlier studies of the Periodic Table. We propose a generalisation to all k-tuply monoidal n-categories.

研究动机与目标

• 开发一种在对称单幕双范畴中使用增强图标作为2-胞态的迭代增强系统的系统方法。
• 解决早期高阶范畴周期表研究中缺失的2-重单幕范畴双范畴问题。
• 通过从Cat出发的两步增强，构建一个部分严格三范畴的对称单幕双范畴。
• 将该构造推广至任意k和n的k-重单幕n-范畴。

提出的方法

• 使用增强图标作为弱增强范畴中单幕双范畴上的2-胞态，以定义高维范畴结构。
• 通过迭代应用增强过程，利用底层单幕双范畴的对称性以确保一致性。
• 以对称单幕双范畴Cat作为增强的初始范畴。
• 通过限制结果结构中的双重退化对象，提取出2-重单幕范畴的双范畴。
• 通过扩展迭代增强过程，将构造推广至k-重单幕n-范畴。
• 利用对称单幕双范畴的一致性定理，以确保结果结构的良定义性和结合性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在对称单幕双范畴中使用增强图标来迭代构造高维范畴结构？
• RQ2 当该增强过程在对称单幕双范畴Cat上应用两次时，会涌现出何种结构？
• RQ3 为何早期的周期表表述中缺失了2-重单幕范畴的双范畴，以及如何将其恢复？
• RQ4 何种条件可确保迭代增强产生良定义的对称单幕双范畴？
• RQ5 该构造如何推广至k-重单幕n-范畴？

主要发现

• 在对称单幕双范畴中使用增强图标进行两次迭代增强，当应用于Cat时，可得到一个良定义的、部分严格三范畴的对称单幕双范畴。
• 将双重增强结构限制到双重退化对象，可产生正确的2-重单幕范畴双范畴，从而解决了早期研究中的一个缺口。
• 该构造表明，单幕双范畴中的对称性对于确保迭代增强的一致性和良好行为至关重要。
• 所得的部分严格三范畴的对称单幕双范畴为研究高阶范畴的一致性及一致性定理提供了自然框架。
• 该方法可推广至k-重单幕n-范畴，为通过迭代增强系统性地构造此类结构提供了有效途径。