[论文解读] Iterative Methods for Photoacoustic Tomography with Variable Sound Speed

Markus Haltmeier, Linh V. Nguyen|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging被引用 4

一句话总结

本文针对变声速下的迭代光声断层扫描重建，提出了改进的伴随算子，加速了收敛速度并改善了误差估计。在可见性条件下，建立了 $L^2$ 和 $H^1$ 范数下的线性收敛速率，并证明了 Nesterov 方法与共轭梯度法在可见与不可见情形下均优于 Landweber 方法与迭代时间反演法。

ABSTRACT

In this article, we revisit iterative methods for solving the inverse problem of photoacoustic tomography in free space. Recently, there have been interesting developments on explicit formulations of the adjoint operator, demonstrating that iterative methods could be an attraktive choice for photoacoustic image reconstruction. In this work, we propose several modifications of current formulations of the adjoint operator which help speed up the convergence and yield improved error estimates. We establish a stability analysis and show that, with our choices of the adjoint operator, Landweber's and the CG methods can achieve a linear rate of convergence either in $L^2$ or $H^1$ norm under the visibility condition. In addition, we analyze the normal operator from the microlocal analysis point of view. This helps us to have more insight into the convergence speed of the iterative methods as well as choosing proper weights for the mapping spaces. Finally, we present numerical results using various iterative reconstruction methods for trapping as well as non-trapping sound speed. Our results demonstrate that Nesterov's fast gradient and the CG methods converge faster than Landweber's and iterative time reversal methods in the visible as well as the invisible case.

研究动机与目标

• 改进变声速下迭代光声断层扫描重建的收敛速度与误差估计。
• 开发伴随算子的改进形式，以提升迭代求解器的性能。
• 在可见性条件下，建立 Landweber 与共轭梯度法在 $L^2$ 与 $H^1$ 范数下的理论收敛速率。
• 通过微局部分析研究法向算子，以深入理解收敛行为并指导函数空间加权的最优选择。
• 评估并比较不同迭代方法在具有陷阱与非陷阱声速配置下的数值性能。

提出的方法

• 基于显式公式推导改进的伴随算子，以加速迭代重建中的收敛速度。
• 应用稳定性分析，在可见性条件下证明 $L^2$ 与 $H^1$ 范数下的线性收敛速率。
• 对法向算子进行微局部分析，以理解奇异性并指导函数空间权重的选择。
• 采用 Landweber、共轭梯度（CG）、Nesterov 快速梯度法与迭代时间反演法进行数值评估。
• 使用变声速模型测试在陷阱与非陷阱配置下的性能表现。
• 引入基于微局部洞察的、与问题相关的映射空间加权，以提升重建质量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何改进光声断层扫描中的伴随算子，以在变声速条件下提升收敛速度与误差估计？
• RQ2 在可见性条件下，Landweber 与 CG 方法在 $L^2$ 与 $H^1$ 范数下的理论收敛速率为何？
• RQ3 法向算子的微局部分析如何指导迭代求解器在函数空间中权重的选择？
• RQ4 在具有陷阱与非陷阱声速分布的图像重建中，不同迭代方法的性能表现如何比较？
• RQ5 在可见与不可见情形下，Nesterov 快速梯度法与 CG 方法相较于 Landweber 与迭代时间反演法的相对收敛速度如何？

主要发现

• 所提出的改进伴随算子使 Landweber 法与共轭梯度法在可见性条件下，于 $L^2$ 与 $H^1$ 范数下均实现线性收敛速率。
• 在可见与不可见情形下，Nesterov 快速梯度法与共轭梯度法的收敛速度均快于 Landweber 法与迭代时间反演法。
• 法向算子的微局部分析揭示了奇异性结构，为函数空间中权重的最优选择提供了指导。
• 稳定性分析证实，在可见性条件下，改进的迭代格式具有鲁棒的收敛行为。
• 数值结果表明，所提出的伴随算子形式在多种声速模型下均实现了更优的重建质量与更快的收敛速度。