[论文解读] Iterative Particle Approximation for McKean-Vlasov SDEs with application to Multilevel Monte Carlo estimation

Łukasz Szpruch, Shuren Tan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文提出了一种用于 McKean-Vlasov SDE 的迭代粒子系统，通过实现条件独立性，使多水平蒙特卡洛（MLMC）估计更加高效。论文证明了该迭代格式的弱收敛性，并表明 MLMC 将计算复杂度从 𝒪(ε⁻⁵) 降低至 𝒪(ε⁻²|log ε|²)，实现了针对加权范数下状态相关泛函的最优量级改进。

ABSTRACT

The mean field limits of systems of interacting diffusions (also called stochastic interacting particle systems (SIPS)) have been intensively studied since McKean \cite{mckean1966class}. The interacting diffusions pave a way to probabilistic representations for many important nonlinear/nonlocal PDEs, but provide a great challenge for Monte Carlo simulations. This is due to the nonlinear dependence of the bias on the statistical error arising through the approximation of the law of the process. This and the fact that particles/diffusions are not independent render classical variance reduction techniques not directly applicable and consequently make simulations of interacting diffusions prohibitive. In this article, we provide an alternative iterative particle representation, inspired by the fixed point argument by Sznitman \cite{sznitman1991topics}. This new representation has the same mean field limit as the classical SIPS. However, unlike classical SIPS, it also allows decomposing the statistical error and the approximation bias. We develop a general framework to study integrability and regularity properties of the iterated particle system. Moreover, we establish its weak convergence to the McKean-Vlasov SDEs (MVSDEs). One of the immediate advantages of iterative particle system is that it can be combined with the Multilevel Monte Carlo (MLMC) approach for the simulation of MVSDEs. We proved that the MLMC approach reduces the computational complexity of calculating expectations by an order of magnitude. Another perspective on this work is that we analyse the error of nested Multilevel Monte Carlo estimators, which is of independent interest. Furthermore, we work with state dependent functionals, unlike scalar outputs which are common in literature on MLMC. The error analysis is carried out in uniform, and what seems to be new, weighted norms.

研究动机与目标

• 为解决由于粒子相互作用和缺乏独立性而导致的 McKean-Vlasov SDE 模拟计算成本过高的问题。
• 通过引入一种新颖的迭代粒子表示方法，克服标准 MLMC 在相互作用粒子系统中失效的问题。
• 在一般条件下，建立迭代粒子系统对 McKean-Vlasov SDE 的弱收敛性。
• 实现对非线性 Fokker-Planck 方程中状态相关泛函的方差减少，而不仅限于标量输出。
• 分析嵌套 MLMC 估计器及其在一致范数和加权范数下的误差，提供新的理论工具。

提出的方法

• 受 Sznitman 固定点论证启发，提出一种迭代粒子系统，引入粒子之间的条件独立性。
• 采用时间离散化的 Euler 格式并结合连续插值，以逼近 McKean-Vlasov SDE。
• 将多水平蒙特卡洛（MLMC）应用于迭代粒子系统，利用条件独立性实现方差降低。
• 在误差分析中采用加权范数和一致范数，以处理状态相关泛函。
• 推导出迭代格式和 MLMC 估计器的误差界，在标准正则性假设下证明收敛性。
• 分析非预测性泛函的嵌套 MLMC 估计器，将 MLMC 理论扩展至平均场 SDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 McKean-Vlasov SDE 构建一种迭代粒子系统，以保持条件独立性并实现高效的 MLMC？
• RQ2 该迭代粒子系统对 McKean-Vlasov SDE 的弱收敛速率是多少？
• RQ3 能否成功将 MLMC 应用于迭代粒子系统，使计算复杂度低于标准方法的 𝒪(ε⁻⁵) 规模？
• RQ4 在一致范数和加权范数下，状态相关泛函的误差行为如何？
• RQ5 所提出的 MLMC 估计器对 McKean-Vlasov SDE 泛函期望的计算复杂度是多少？

主要发现

• 在漂移和扩散系数的标准正则性条件下，迭代粒子系统弱收敛于 McKean-Vlasov SDE。
• 所提出的方法使 MLMC 可应用于相互作用粒子系统，而此前由于缺乏独立性而无法实现。
• MLMC 估计器实现了 𝒪(ε⁻²|log ε|²) 的计算复杂度，将成本从标准粒子方法的 𝒪(ε⁻⁵) 显著降低。
• 误差分析采用加权范数，这一方法新颖且对处理状态相关泛函至关重要。
• 该框架支持一般非预测性泛函，而不仅限于标量输出，显著扩展了 MLMC 在平均场 SDE 中的应用范围。
• 本文首次为 McKean-Vlasov SDE 背景下的嵌套 MLMC 估计器建立了严格的误差分析。