[论文解读] Johnson's homomorphisms and the Arakelov-Green function

Nariya Kawazumi|ArXiv.org|Jan 28, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 36

一句话总结

本文通过引入模空间 $ \mathbb{M}_g $ 上的实值函数 $ a_g $，建立了约翰逊同态与黎曼曲面模空间上阿赖赫洛夫-格林函数之间的精确联系。该函数的二阶变分将来自阿赖赫洛夫-格林函数的陈形式 $ e^A $ 与来自约翰逊平坦联络的陈形式 $ e^J $ 联系起来。关键结果为恒等式 $ e^A - e^J = \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)} \partial\overline{\partial}a_g $，统一了模空间研究中的几何与算术不变量。

ABSTRACT

Let $π: {\mathbb C}_g o {\mathbb M}_g$ be the universal family of compact Riemann surfaces of genus $g \geq 1$. We introduce a real-valued function on the moduli space ${\mathbb M}_g$ and compute the first and the second variations of the function. As a consequence we relate the Chern form of the relative tangent bundle $T_{{\mathbb C}_g/{\mathbb M}_g}$ induced by the Arakelov-Green function with differential forms on ${\mathbb C}_g$ induced by a flat connection whose holonomy gives Johnson's homomorphisms on the mapping class group.

研究动机与目标

• 将由阿赖赫洛夫-格林函数诱导的相对切丛的陈形式与约翰逊同态产生的微分形式相联系。
• 在模空间 $ \mathbb{M}_g $ 上定义一个实值函数 $ a_g $，以编码两个自然陈形式之间的差异。
• 计算 $ a_g $ 的一阶与二阶变分，以建立 $ e^A $ 与 $ e^J $ 之间的精确微分几何恒等式。
• 阐明纤维积分 $ e^F_1 $ 与代表第一莫里塔-蒙福德类 $ e_1 $ 的典范形式 $ e^J_1 $ 之间的关系。

提出的方法

• 在每个黎曼曲面 $ C $ 上引入函数 $ a_g(C) = -\sum_{i,j=1}^g \int_C \psi_i \wedge \overline{\psi_j} \widehat{\Phi}(\overline{\psi_i} \wedge \psi_j) $，其中 $ \widehat{\Phi} $ 是体积形式 $ B $ 的格林算子。
• 利用全纯1-形式的正交基 $ \{\psi_i\} $ 定义 $ B = \frac{\sqrt{-1}}{2g} \sum_{i=1}^g \psi_i \wedge \overline{\psi_i} $，该体积形式与基的选择无关。
• 定义 $ e^A = \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}} \partial\overline{\partial} \log G|_{\text{对角线}} $，其表示通过阿赖赫洛夫-格林函数 $ G $ 的相对切丛的陈类。
• 通过构造 $ \mathbb{M}_{g,1} $ 上平坦联络的曲率形式 $ e^J $，其单值表示约翰逊同态，且在每个纤维上限制为 $ (2-2g)B $。
• 计算 $ a_g $ 的二阶变分，并将其与差值 $ e^F_1 - e^J_1 $ 关联，其中 $ e^F_1 = \int_{\text{纤维}} (e^J)^2 $。
• 通过显式计算曲率与Hodge理论恒等式，推导出恒等式 $ \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)} \partial\overline{\partial}a_g = \frac{1}{(2g-2)^2}(e^F_1 - e^J_1) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 约翰逊同态如何能通过几何方式与模空间 $ \mathbb{M}_g $ 上的阿赖赫洛夫-格林函数联系起来？
• RQ2 由阿赖赫洛夫-格林函数导出的陈形式 $ e^A $ 与由约翰逊同态关联的平坦联络导出的形式 $ e^J $ 之间，是否存在精确的微分几何关系？
• RQ3 差值 $ e^A - e^J $ 能否表示为 $ \mathbb{M}_g $ 上实值函数的 $ \partial\overline{\partial} $-恰当形式？
• RQ4 纤维积分形式 $ e^F_1 $ 与代表 $ e_1 $ 的典范形式 $ e^J_1 $ 之间有何比较关系，其差值为何？
• RQ5 差值 $ e^F_1 - e^J_1 $ 是否在上同调意义下平凡？若是，其如何表示为 $ \partial\overline{\partial} $-恰当形式？

主要发现

• 函数 $ a_g(C) = -\sum_{i,j=1}^g \int_C \psi_i \wedge \overline{\psi_j} \widehat{\Phi}(\overline{\psi_i} \wedge \psi_j) $ 在 $ g \geq 2 $ 时是 $ \mathbb{M}_g $ 上定义良好、正定的实值函数，且与全纯1-形式正交基的选择无关。
• 恒等式 $ e^A - e^J = \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)} \partial\overline{\partial}a_g $ 成立，表明阿赖赫洛夫与约翰逊陈形式之间的差异可通过 $ a_g $ 实现 $ \partial\overline{\partial} $-恰当化。
• 纤维积分形式 $ e^F_1 = \int_{\text{纤维}} (e^J)^2 $ 表示第一莫里塔-蒙福德类 $ e_1 $，且满足 $ \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)} \partial\overline{\partial}a_g = \frac{1}{(2g-2)^2}(e^F_1 - e^J_1) $。
• 差值 $ e^F_1 - e^J_1 $ 是上同调平凡的，但作为微分形式非零，表明两个自然代表 $ e_1 $ 之间存在微妙的几何差异。
• $ \partial\overline{\partial}a_g $ 的计算依赖于 $ a_g $ 的二阶变分，后者通过涉及格林算子 $ \widehat{\Phi} $、调和投影算子 $ \mathcal{H} $ 与曲率项的Hodge理论恒等式表达。
• 最终恒等式确认了 $ e^A - e^J $ 与 $ \frac{1}{(2g-2)^2}(e^F_1 - e^J_1) $ 相等，统一了阿赖赫洛夫与约翰逊方法在第一莫里塔-蒙福德类上的处理。