[论文解读] Joint measurability through Naimark's theorem

Roberto Beneduci|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文利用奈马克扩张定理，表征了作为自伴算子模糊化的两个正算子值测度（POVMs）的联合可测量性。证明了此类POVMs当且仅当原始算子在扩展希尔伯特空间中存在可交换的自伴扩张时，才是联合可测量的，从而提供了一个通用框架，其中未精确的位置与动量可观测量是关键示例。

ABSTRACT

We use Naimark's dilation theorem in order to characterize the joint measurability of two POVMs. Then, we analyze the joint measurability of two commutative POVMs $F_1$ and $F_2$ which are the smearing of two self-adjoint operators $A_1$ and $A_2$ respectively. We prove that the compatibility of $F_1$ and $F_2$ is connected to the existence of two compatible self-adjoint dilations $A_1^+$ and $A_2^+$ of $A_1$ and $A_2$ respectively. As a corollary we prove that each couple of self-adjoint operators can be dilated to a couple of compatible self-adjoint operators. Next, we analyze the joint measurability of the unsharp position and momentum observables and show that it provides a master example of the scheme we propose. Finally, we give a sufficient condition for the compatibility of two effects.

研究动机与目标

• 建立两个作为自伴算子模糊化的POVMs的联合可测量性的通用判据。
• 通过将联合可测量性与扩展希尔伯特空间中相容扩张的存在性联系起来，扩展量子测量的操作框架。
• 证明任意一对自伴算子均可在扩展空间中扩张为一对相容的自伴算子。
• 通过未精确位置与动量可观测量的主例子，展示其联合可测量性符合所提出的方案。
• 利用奈马克扩张和投影算子的可交换性，推导出两个量子效应兼容性的充分条件。

提出的方法

• 应用奈马克的扩张定理，将POVMs表示为扩展希尔伯特空间上的投影算子。
• 使用费勒马尔可夫核表征可交换POVMs为自伴算子的模糊化。
• 建立两个POVMs的联合可测量性与它们的奈马克扩张联合可测量性之间的等价关系。
• 引入一种特定的效应扩张构造（在加倍的希尔伯特空间上的投影），以分析兼容性。
• 利用扩展空间上算子的矩阵表示，推导出扩张投影之间可交换性的条件。
• 证明两个效应相容当且仅当其在加倍希尔伯特空间中的奈马克扩张是可交换的投影，利用分块矩阵的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当满足何种条件时，作为自伴算子模糊化的两个POVMs是联合可测量的？
• RQ2 是否每对自伴算子均可在扩展希尔伯特空间中扩张为一对相容的自伴算子？
• RQ3 未精确位置与动量可观测量的联合可测量性如何融入奈马克扩张的一般框架？
• RQ4 通过其奈马克扩张，何种充分条件可确保两个量子效应的兼容性？
• RQ5 基于奈马克定理的联合可测量性判据在多于两个POVMs的情况下能在多大程度上推广？

主要发现

• 作为自伴算子模糊化的两个POVMs是联合可测量的，当且仅当原始算子在扩展希尔伯特空间中存在可交换的自伴扩张。
• 每对自伴算子均可在更大的希尔伯特空间中扩张为一对相容的自伴算子，证明了通用的存在性结果。
• 未精确位置与动量可观测量作为主例子，其联合可测量性源于精确位置与动量算子的可交换扩张的存在性。
• 两个效应相容当且仅当其在加倍希尔伯特空间中的奈马克扩张是可交换的投影。
• 两个效应兼容性的充分条件由算子方程 $[A_1, A_2] + [B_1, B_2] = 0$ 和 $\{A_1, B_2\} - \{B_1, A_2\} = B_2 - B_1$ 给出，其中 $B_i = \sqrt{A_i(\mathbf{1} - A_i)}$。
• 多于两个POVMs的联合可测量性无法以相同方式通过奈马克定理表征，凸显了该方法在处理成对情况时的局限性。