[论文解读] Special Varieties and classification Theory

Frédéric Campana|ArXiv.org|Oct 4, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入了‘特殊’复射影流形的概念——即不映射到一般型轨道丛的流形——并建立了其标准纤维化结构‘核心’，将任意此类流形分解为一系列具有特殊纤维的纤维化塔与一个一般型轨道丛基底。核心构造提供了一个类似李群理论中 Levi 分解的双有理分类框架，通过轨道丛几何统一了有理连通性、Kodaira 亏格为零以及一般型三种情形。

ABSTRACT

A new class of compact Kähler manifolds, called special, is defined, which are the ones having no surjective meromorphic map to an orbifold of general type. The special manifolds are in many respect higher-dimensional generalisations of rational and elliptic curves. For example, we show that being rationally connected or having vanishing Kodaira dimension implies being special. Moreover, for any compact Kähler $X$ we define a fibration $c_X:X o C(X)$, which we call its core, such that the general fibres of $c_X$ are special, and every special subvariety of $X$ containing a general point of $X$ is contained in the corresponding fibre of $c_X$. We then conjecture and prove in low dimensions and some cases that: 1) Special manifolds have an almost abelian fundamental group. 2) Special manifolds are exactly the ones having a vanishing Kobayashi pseudometric. 3) The core is a fibration of general type, which means that so is its base $C(X)$,when equipped with its orbifold structure coming from the multiple fibres of $c_X$. 4) The Kobayashi pseudometric of $X$ is obtained as the pull-back of the orbifold Kobayashi pseudo-metric on $C(X)$, which is a metric outside some proper algebraic subset. 5) If $X$ is projective,defined over some finitely generated (over $\Bbb Q$) subfield $K$ of the complex number field, the set of $K$-rational points of $X$ is mapped by the core into a proper algebraic subset of $C(X)$. These two last conjectures are the natural generalisations to arbitrary $X$ of Lang's conjectures formulated when $X$ is of general type.

研究动机与目标

• 使用轨道丛几何建立复射影流形的双有理分类框架。
• 将‘特殊’流形定义并表征为不映射到一般型轨道丛的流形。
• 构造一个标准纤维化——即‘核心’——以捕捉流形的最大特殊子簇结构。
• 在单一轨道丛理论框架下统一有理连通性、κ=0 与一般型三种情形。
• 推广 Lang 的猜想，并将特殊流形与双曲性、有理点及基本群性质联系起来。

提出的方法

• 通过多重纤维的重数在纤维上定义轨道丛结构。
• 引入‘特殊’流形的概念：即不存在到一般型轨道丛的非平凡映射的流形。
• 将核心纤维化 c_X: X → C(X) 构造为一般纤维为特殊的最小纤维化。
• 通过迭代轨道丛 Iitaka 纤维化与有理商映射构建核心分解。
• 应用轨道丛版本的 Viehweg 弱正性与 Iitaka 的 C_{n,m} 猜想，证明核心的性质。
• 建立核心在有限 étale 覆盖与形变下的函子性与不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将复射影流形的双有理分类分解为标准组成部分？
• RQ2 从其微分形式层与 Kodaira 亏格的角度，什么特征定义了一个流形为‘特殊’？
• RQ3 核心纤维化是否可对任意紧致 Kähler 流形唯一构造，其普遍性质为何？
• RQ4 核心纤维化与 Kobayashi 拟度量及双曲性有何关系？
• RQ5 特殊流形在多大程度上满足算术与几何猜想，如 Lang 猜想或基本群阿贝尔性猜想？

主要发现

• 复射影流形为特殊流形当且仅当其不具有 Bogomolov 层——即不存在 Ω_X^p（p>0）中具有最大 Kodaira 亏格的秩一凝聚子层。
• 核心纤维化 c_X: X → C(X) 具有函子性，且其一般纤维为特殊流形，同时包含所有与之相交的特殊子簇。
• 若 X 不是特殊流形，则核心纤维化的基底为一般型轨道丛，从而证实了轨道丛 Iitaka C_{n,m} 猜想的一个特例。
• 猜想中，特殊流形具有几乎阿贝尔的基本群且 Kobayashi 拟度量为零。
• 核心纤维化为 Lang 猜想在任意流形与轨道丛上的自然推广，将双有理几何与算术及双曲性联系起来。
• 核心构造适用于所有紧致 Kähler 流形，并可推广至代数闭域，但在正特征情形需作相应修正。