[论文解读] Kähler-Einstein metrics and volume minimization

Chi Li, Yuchen Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 54被引用 22

一句话总结

本文证明了，当一个 ${\mathbb{Q}}$-Fano 代数簇特殊退化为凯勒-爱因斯坦 Fano 代数簇时，其仿射锥顶点处的典范赋值全局最小化归一化体积泛函 ${\widehat{\rm vol}}(v) = A_{\mathcal{C}}(v)^n \cdot {\rm vol}(v)$。该结果证实了关于光滑 Fano 流形 K-半稳定性的猜想，并通过逼近方法将 Martelli-Sparks-Yau 的最小化结果推广至非正则 Sasaki-爱因斯坦度量。

ABSTRACT

We prove that if a $\mathbb{Q}$-Fano variety $V$ specially degenerates to a Kähler-Einstein $\mathbb{Q}$-Fano variety $V$, then for any ample Cartier divisor $H=-r^{-1} K_V$ with $r\in \mathbb{Q}_{>0}$, the normalized volume $\widehat{ m vol}(v)=A_{\mathcal{C}}^n(v)\cdot { m vol}(v)$ is globally minimized at the canonical valuation ${ m ord}_V$ among all real valuations which are centered at the vertex of the affine cone $\mathcal{C}:=C(V,H)$. This is also generalized to the logarithmic and the orbifold setting. As a consequence, we complete the confirmation of a conjecture in [arXiv:1511.08164] on an equivalent characterization of K-semistability for any smooth Fano manifold. We also prove that the valuation associated to the Reeb vector field of a smooth Sasaki-Einstein metric minimizes $\widehat{ m vol}$ over the corresponding Kähler cone. These results strengthen the minimization result of Martelli-Sparks-Yau [Martelli et al 08].

研究动机与目标

• 建立仿射锥 $\mathcal{C} = C(V, H)$ 顶点处实赋值空间上归一化体积泛函 ${\widehat{\rm vol}}(v)$ 的全局最小化性质，其中 $V$ 为 ${\mathbb{Q}}$-Fano 代数簇。
• 证明若一个 ${\mathbb{Q}}$-Fano 代数簇特殊退化为凯勒-爱因斯坦 Fano 代数簇，则典范赋值 ${\rm ord}_V$ 实现 ${\widehat{\rm vol}}(v)$ 的全局最小值。
• 完整确认 [Li15a] 中关于光滑 Fano 流形 K-半稳定性的等价刻画（通过归一化体积最小化）的猜想。
• 将 Martelli-Sparks-Yau [MSY08] 的最小化结果推广至光滑 Sasaki 流形上的非正则 Sasaki-爱因斯坦度量。

提出的方法

• 为仿射锥 $\mathcal{C} = C(V, H)$ 顶点处的实赋值 $v$ 定义归一化体积 ${\widehat{\rm vol}}(v) = A_{\mathcal{C}}(v)^n \cdot {\rm vol}(v)$，其中 $H = -r^{-1}K_V$，$r \in \mathbb{Q}_{>0}$。
• 利用滤子理论与 Fujita 的逼近方法，将赋值的体积与测试配置的体积相关联，特别关注对数 Fano 对。
• 应用 Berman 关于凯勒-爱因斯坦 Fano 代数簇上射影锥的对数 K-双稳定性的结果，以确立典范赋值的最小性。
• 构造一列拟正则 Sasaki 度量 $\{g_{M,k}\}$，其光滑收敛于给定的 Sasaki-爱因斯坦度量 $g_M$，且其 Reeb 向量场 $\xi_k \to \xi$，同时保持对数分歧数 $A(\xi_k) = A(\xi)$。
• 利用横截 Ricci 曲率公式 $Ric(g_M|_{\mathcal{H}}) = Ric(g_M^T) - 2g_M^T$，将 Sasaki-爱因斯坦条件与商轨道丛上的横截凯勒-爱因斯坦条件联系起来。
• 利用非正则 Reeb 向量场被拟正则 Reeb 向量场逼近，以及归一化体积泛函的连续性，将最小化结果从拟正则情形推广至一般（非正则）情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个 ${\mathbb{Q}}$-Fano 代数簇 $V$ 特殊退化为凯勒-爱因斯坦 Fano 代数簇时，其仿射锥顶点处的典范赋值 ${\rm ord}_V$ 是否在所有实赋值中全局最小化归一化体积 ${\widehat{\rm vol}}(v)$？
• RQ2 能否完全确认 [Li15a] 中关于通过归一化体积最小化刻画光滑 Fano 流形 K-半稳定性的猜想？
• RQ3 Sasaki-爱因斯坦度量关联的 Reeb 向量场对归一化体积 ${\widehat{\rm vol}}(v)$ 的最小化性质是否可推广至非正则 Sasaki 结构？
• RQ4 是否存在一个代数证明，表明 ${\mathbb{Q}}$-Fano 代数簇 $V$ 的 K-半稳定性与加权锥 $({\overline{\mathcal{C}}}, (1 - \beta)V_\infty)$（其中 $\beta = r/n$）的对数 K-半稳定性等价？

主要发现

• 当 ${\mathbb{Q}}$-Fano 代数簇 $V$ 特殊退化为凯勒-爱因斯坦 ${\mathbb{Q}}$-Fano 代数簇时，典范赋值 ${\rm ord}_V$ 在所有中心于仿射锥 $\mathcal{C} = C(V, H)$ 顶点的实赋值中，全局最小化归一化体积泛函 ${\widehat{\rm vol}}(v)$。
• 该结果证实了 [Li15a] 中的猜想：光滑 Fano 流形是 K-半稳定的，当且仅当归一化体积在典范赋值处取得最小值。
• 对于任意光滑 Sasaki-爱因斯坦流形，其度量关联的 Reeb 向量场在所有中心于锥顶点的实赋值中最小化 ${\widehat{\rm vol}}(v)$，即使在非正则情形下也成立。
• 归一化体积泛函在 Reeb 向量场的光滑逼近下连续，从而允许将最小化结果从拟正则情形推广至一般（非正则） Sasaki-爱因斯坦度量。
• 该证明依赖于存在一列拟正则 Sasaki 度量 $\{g_{M,k}\}$，其在 $C^\infty$ 拓扑下收敛于给定的 Sasaki-爱因斯坦度量 $g_M$，且满足 $A(\xi_k) = A(\xi)$ 以及 ${\widehat{\rm vol}}(v_{\xi_k}) \to {\widehat{\rm vol}}(v_\xi)$。
• 该结果将 Martelli-Sparks-Yau 的最小化结果 [MSY08] 推广至非正则情形，表明任意光滑 Sasaki-爱因斯坦度量的 Reeb 向量场均最小化 ${\widehat{\rm vol}}(v)$。