[论文解读] Connecting toric manifolds by conical Kahler-Einstein metrics

Ved Datar, Bin Guo+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 42被引用 18

一句话总结

本文通过最大 Ricci 曲率下界与 Bakry-Emery-Ricci 曲率下界，建立了 toric 流形上存在锥形 Kähler-Einstein 及 Kähler-Ricci 梯度流度量的判别准则。证明了任意两个同维数的 toric 流形均可通过一条连续路径在 Gromov-Hausdorff 拓扑下连接，且该路径上的流形均存在锥形 Kähler-Einstein 度量。

ABSTRACT

We give criterions for the existence of toric conical Kahler-Einstein and Kahler-Ricci soliton metrics on any toric manifold in relation to the greatest Ricci and Bakry-Emery-Ricci lower bound. We also show that any two toric manifolds with the same dimension can be joined by a continuous path of toric manifolds with conical Kahler-Einstein metrics in the Gromov-Hausdorff topology.

研究动机与目标

• 将 log Fano 流形与具有锥形奇点的 toric 流形的 greatest Ricci 下界 R(X) 和 Bakry-Emery-Ricci 下界 R_BE(X) 进行推广。
• 为 toric Fano 流形上存在 toric 锥形 Kähler-Einstein 及 Kähler-Ricci 梯度流度量提供明确判别准则。
• 证明任意两个同维数的 toric 流形均可通过一条连续路径在 Gromov-Hausdorff 拓扑下连接，且路径上所有流形均存在锥形 Kähler-Einstein 度量。
• 提出一种回归方案，通过锥形 Kähler-Einstein 与梯度流度量构造 Fano 流形的最大模型，将极小模型程序推广至 Fano 几何。

提出的方法

• 通过与 Kähler 度量的 Ricci 曲率比较，定义 Fano 流形的 greatest Ricci 下界 R(X) 与 Bakry-Emery-Ricci 下界 R_BE(X)。
• 应用连续法求解锥形 Kähler-Einstein 方程 Ric(ω) = βω + (1−β)[D]（β ∈ (0, R(X))）与 Kähler-Ricci 梯度流方程 Ric(ω) = tω + ℒ_ξω + (1−t)[D]（t ∈ [R(X), T)）
• 利用 Gromov-Hausdorff 收敛分析连续路径上退化锥形 Kähler 度量族的极限行为。
• 构建一种回归方案，通过迭代变形给定的 toric Fano 流形，利用锥形 Kähler-Einstein 与梯度流度量，最终得到具有最优 Bakry-Emery-Ricci 曲率的最大模型。
• 利用对小 ε > 0 的对偶对 (X, −(1−ε)K_X + εD) 的 log K-稳定性，确保在特定条件下最大模型的存在性与唯一性。
• 应用锥形 Kähler 流形的体积与测地线凸性比较定理，为连续法提供一致估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 toric Fano 流形上，存在 toric 锥形 Kähler-Einstein 度量的必要与充分条件是什么？
• RQ2 最大 Bakry-Emery-Ricci 下界 R_BE(X) 与 toric Fano 流形上 Kähler-Ricci 梯度流方程可解性之间有何关系？
• RQ3 任意两个同维数的 toric Fano 流形是否可通过一条连续路径在 Gromov-Hausdorff 拓扑下连接，且路径上所有流形均存在锥形 Kähler-Einstein 度量？
• RQ4 基于锥形 Kähler-Einstein 与梯度流度量的回归方案，Fano 流形的最大模型具有何种结构？
• RQ5 在何种条件下，回归方案能独立于初始除子选择产生唯一的最大模型？

主要发现

• 存在 toric 锥形 Kähler-Einstein 度量的条件为 β < R(X)，其中 R(X) 为最大 Ricci 下界。
• 存在 toric 锥形 Kähler-Ricci 梯度流度量的条件为 t < R_BE(X)，且 R_BE(X) ≤ 1，猜想对所有 Fano 流形均有 R_BE(X) = 1。
• 对任意两个同维数的 toric Fano 流形，存在一条在 Gromov-Hausdorff 拓扑下连接它们的连续路径，路径上所有流形均存在锥形 Kähler-Einstein 度量。
• 通过回归方案定义的最大模型（即极限）使 Bakry-Emery-Ricci 曲率达到最大，且满足 Ric(ω′) = Tω′ + ℒ_ξ′ω′ + (1−T)[D′]，其中 T = R_BE(X)。
• 当 R(X) = 1 时，最大模型为光滑 Fano 流形，且具有 Kähler-Einstein 度量；当 R(X) < 1 时，最大模型为具有对数终端奇点的 Q-Fano 代数簇，并具有锥形 Kähler-Ricci 梯度流度量。
• 当 R(X) = 1 时，最大模型唯一且与初始除子 D 无关；在 log K-稳定条件下，该构造可推广至 log Fano 对。