[论文解读] Kähler-Ricci flow with unbounded curvature

Shaochuang Huang, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 8

一句话总结

该论文证明了在非紧流形上，当曲率有界于 $ a/t $（$ a > 0 $）时，Kähler 条件与非负全纯双截面曲率在 Kähler-Ricci 流下保持不变。若初始度量为 Kähler 且曲率衰减如 $ 1/t $，则解保持 Kähler；若初始曲率为非负，则其保持非负。这些结果表明，具有非负全纯双截面曲率与最大体积增长的完备非紧 Kähler 流形微分同构于 $ \mathbb{C}^n $，从而证实了 Yau 统一化猜想的一个特例。

ABSTRACT

Let $g(t)$ be a complete solution to the Ricci flow on a noncompact manifold such that $g(0)$ is Kahler. We prove that if $|Rm(g(t))|_{g(t)}\le a/t$ for some $a>0$, then $g(t)$ is Kahler for $t>0$. We prove that there is a constant $ a(n)>0$ depending only on $n$ such that the following is true: Suppose $g(t)$ is a complete solution to the Kahler-Ricci flow on a noncompact $n$-dimensional complex manifold such that $g(0)$ has nonnegative holomorphic bisectional curvature and such that $|Rm(g(t))|_{g(t)}\le a(n)/t$, then $g(t)$ has nonnegative holomorphic bisectional curvature for $t>0$. These generalize the results by W. S. Shi. As corollaries, we prove that (i) any complete noncompact Kahler manifold with nonnegative complex sectional curvature with maximum volume growth is biholomorphic to $ C^n$; and (ii) there is $ε(n)>0$ depending only on $n$ such that if $(M^n,g_0)$ is a complete noncompact Kahler manifold of complex dimension $n$ with nonnegative holomorphic bisectional curvature and maximum volume growth and if $(1+ε(n))^{-1}h\le g_0\le (1+ε(n))h$ for some Riemannian metric $h$ with bounded curvature, then $M$ is biholomorphic to $C^n$.

研究动机与目标

• 证明当曲率有界于 $ a/t $ 时，Kähler 条件在非紧流形上的 Kähler-Ricci 流下保持不变。
• 证明在相同曲率衰减条件下，非负全纯双截面曲率在 Kähler-Ricci 流下保持不变。
• 建立具有非负全纯双截面曲率与最大体积增长的完备非紧 Kähler 流形微分同构于 $ \mathbb{C}^n $。
• 通过 $ 1/t $ 衰减估计，将有界曲率情形的结果推广至无界曲率情形。

提出的方法

• 使用 $ h $-流（Ricci-DeTurck 流的变体）构造具有受控曲率衰减的短时解。
• 应用 $ L^2 $-估计与加权 Sobolev 不等式，控制流下的曲率演化。
• 在 exhaustion 域上构造近似解，并通过对角序列法实现收敛。
• 利用初始度量与具有有界曲率的背景度量 $ h $ 之间的统一等价性，控制几何结构。
• 估计由联络系数差异产生的向量场 $ W $，以控制度量演化。
• 利用体积比较与最大体积增长假设，保持流下的几何控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当曲率无界但衰减如 $ 1/t $ 时，Kähler 条件在非紧流形上的 Kähler-Ricci 流下是否仍然保持？
• RQ2 在相同 $ 1/t $ 曲率衰减条件下，非负全纯双截面曲率是否在 Kähler-Ricci 流下保持不变？
• RQ3 Yau 的统一化猜想是否可对具有最大体积增长与非负全纯双截面曲率的完备非紧 Kähler 流形得到验证？
• RQ4 最优常数 $ \epsilon(n) > 0 $ 是多少，使得若初始度量 $ g_0 $ 与有界曲率度量 $ h $ 满足 $ (1+\epsilon(n)) $-准等距，则流形微分同构于 $ \mathbb{C}^n $？

主要发现

• 若存在 $ a > 0 $ 使得 $ |\text{Rm}(g(t))|_{g(t)} \leq a/t $，则对所有 $ t > 0 $，Kähler 条件保持不变。
• 存在常数 $ a(n) > 0 $，使得若初始度量具有非负全纯双截面曲率且曲率衰减如 $ a(n)/t $，则对所有 $ t > 0 $，曲率保持非负。
• 任意具有非负复截面曲率与最大体积增长的完备非紧 Kähler 流形均微分同构于 $ \mathbb{C}^n $。
• 若初始度量 $ g_0 $ 满足 $ (1+\epsilon(n)) $-准等距于有界曲率度量 $ h $，且 $ g_0 $ 具有非负全纯双截面曲率与最大体积增长，则 $ M $ 微分同构于 $ \mathbb{C}^n $。
• 在 $ 1/t $ 曲率衰减条件下，Kähler-Ricci 流的解全局存在，且始终保持完备与 Kähler。
• 曲率估计 $ |\text{Rm}(g(t))|_{g(t)} \leq \alpha / t $ 保持不变，其中 $ \alpha = \alpha(n) $ 仅依赖于维数 $ n $。