[论文解读] Künneth projectors for open varieties

Spencer Bloch, Hélène Esnault|ArXiv.org|Feb 21, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文在无穷远处具有法线交叉的光滑射影完成的前提下，为光滑仿射概族 $ U $ 的一阶上同调群 $ H^1(U) $ 构造了一个代数的 Künneth 投影算子。通过相对 motivic 上同调，证明了开对应关系迹的整性与 $ \ell $-无关性，将 Lefschetz 迹公式推广至满足良好位置条件的开概族。

ABSTRACT

We consider correspondences on smooth quasiprojective varieties $U$. An algebraic cycle inducing the Künneth projector onto $H^1(U)$ is constructed. Assuming normal crossings at infinity, the existence of relative motivic cohomology is shown to imply the independence of $\ell$ for traces of open correspondences.

研究动机与目标

• 为具有光滑射影完成的光滑仿射概族 $ U $，构造一个诱导 $ H^1(U) $ 上 Künneth 投影算子的代数循环。
• 在无穷远处具有法线交叉的条件下，建立此类概族的相对 motivic 上同调的存在性。
• 证明代数对应关系在 $ U \times U $ 上的迹的整性与 $ \ell $-无关性，将迹公式技术推广至开概族。
• 通过 Gysin 映射与无穷远处除子的分量上的 Mayer-Vietoris 族谱序列，将 Lefschetz 迹公式推广至具有法线交叉的开概族。

提出的方法

• 在 $ X \times U $ 上构造一个循环，其中 $ X $ 是 $ U $ 的光滑射影完成，该循环诱导 $ H^1(U) $ 上的 Künneth 投影算子，但仅在 $ (X\setminus U) \times U $ 上部分平凡化。
• 利用 $ C \times J(C,\Delta) $ 上的 Poincaré 线丛，实现 $ H^1(C,\Delta) \otimes H^1(J(C,\Delta))(1) $ 中的第一陈类，将其与 $ U $ 的上同调联系起来。
• 应用 Mayer-Vietoris 族谱序列 $ E_1^{a,b} = \bigoplus_{|I|=a} H^b(D_I) \Rightarrow H^{a+b}_c(U) $，将 $ U $ 的上同调与无穷远处除子的分量 $ D_I $ 的上同调联系起来。
• 将对应关系 $ \Gamma $ 在分量上的限制定义为 $ Z_I = \bar{\Gamma} \cdot (D_I \times X) $，并利用 Gysin 映射与限制映射计算迹。
• 施加一个方案论的良好位置条件：$ \bar{\Gamma}_j \cap (D_I \times X) \subset D_I \times D_I $，以确保交点重数为 1，并使边界贡献项相互抵消。
• 应用迹公式 $ \operatorname{Tr}(\Gamma_*) = \sum_{r=0}^d (-1)^r \sum_{|I|=r} \deg(Z_I \cdot \Delta_I) $，其中 $ \Delta_I $ 是 $ D_I \times D_I $ 中的对角线。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为光滑仿射概族 $ U $ 构造一个代数循环，使其诱导 $ H^1(U) $ 上的 Künneth 投影算子？
• RQ2 在何种条件下，开对应关系在 $ U \times U $ 上的迹满足整性与 $ \ell $-无关性？
• RQ3 如何将 Lefschetz 迹公式推广至无穷远处具有法线交叉的开概族？
• RQ4 在何种情况下，无穷远处边界的贡献在迹公式中相互抵消，使得迹仅依赖于 $ U $ 中的不动点？
• RQ5 相对 motivic 上同调在证明迹的 $ \ell $-无关性中起到何种作用？

主要发现

• 在 $ X \times U $ 上存在一个代数循环，可诱导 $ H^1(U) $ 上的 Künneth 投影算子，但仅在 $ (X\setminus U) \times U $ 上部分平凡化，而非完全平凡化。
• 对应关系 $ \Gamma $ 在 $ H^*_{c}(U) $ 上的迹由公式 $ \sum_{r=0}^d (-1)^r \sum_{|I|=r} \deg(Z_I \cdot \Delta_I) $ 给出，其中 $ Z_I = \bar{\Gamma} \cdot (D_I \times X) $。
• 在方案论良好位置条件与横截性下，迹 $ \operatorname{Tr}(\Gamma_*) $ 等于 $ \deg(\Delta_U \cdot \Gamma) $，即 $ U $ 中不动点的个数。
• 即使 $ \Gamma $ 是特征 $ p $ 下 Frobenius 映射的图像，该公式依然成立，通过新的 motivic 方法恢复了已知结果。
• 在相对 motivic 上同调假设下，通过迹公式与边界项的抵消，建立了开对应关系迹的 $ \ell $-无关性。
• 例子 $ \Gamma_{pq} \subset \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 $（$ p \neq q $）表明，迹为 $ p $，而 $ \deg(\Delta_U \cdot \Gamma) = \max(p,q) $，展示了公式中抵消机制的作用。