[论文解读] The BV Algebra on Hochschild Cohomology Induced by Infinity Inner Products

Thomas Tradler|ArXiv.org|Oct 10, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 27

一句话总结

本文在具有对称、不变且非退化的内积的单位结合代数和 $A_\infty$-代数的 Hochschild上同调上构造了 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数结构。通过利用链上的 Connes $B$-算子的对偶性，定义了一个度数为 $-1$ 的算子 $Δ$，并证明 $Δ$ 满足 BV 关系，从而使得 Hochschild上同调具备与 Gerstenhaber括号和杯积相容的 BV 代数结构。

ABSTRACT

We define a BV-structure on the Hochschild-cohomology of a unital, associative algebra A with a symmetric, invariant and non-degenerate inner product. The induced Gerstenhaber algebra is the one described in Gerstenhaber's original paper on Hochschild-cohomology. We also prove the corresponding theorem in the homotopy case, namely we define the BV-structure on the Hochschild-cohomology of a unital A-infinity-algebra with a symmetric and non-degenerate infinity-inner product.

研究动机与目标

• 在具有对称、不变且非退化的内积的单位结合代数的 Hochschild 上同调上定义 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数结构。
• 通过 $\infty$-内积的概念将此构造推广至 $A_\infty$-代数，将 BV 结构扩展到同伦结合代数的设定中。
• 证明所诱导的 $\Delta$-算子满足 BV 关系，确保 $\Delta^2 = 0$，且 Gerstenhaber 括号作为 $\Delta$ 与导子偏离的度量出现。
• 阐明此 BV 结构与弦拓扑之间的关系，推测在 Poincaré对偶空间下，Hochschild 上同调与环路空间同调之间的同构下，该结构与弦拓扑 BV 代数相容。

提出的方法

• 通过使用对称、非退化的内积，将链上的 Connes $B$-算子对偶地转移到上链上，从而在 Hochschild 上链复上定义 $\Delta$-算子。
• 利用内积将 Connes $B$-算子从链转移到上链，确保 $\Delta$ 是一个链映射，且在上同调上满足 $\Delta^2 = 0$。
• 将 $\infty$-内积构造为 $A$ 与它的对偶 $A^*$ 之间的 $A_\infty$-双模映射，将经典内积推广至同伦代数。
• 通过证明 Gerstenhaber 括号满足上同调中的关系 $[\alpha,\beta] = \Delta(\alpha \smile \beta) - \Delta(\alpha) \smile \beta - (-1)^n \alpha \smile \Delta(\beta)$，来证明 BV 关系。
• 将弦拓扑中的技术，特别是 Chas 和 Sullivan 对环路空间同调中 BV 结构的证明，应用到 Hochschild 上链复上。
• 使用 Stasheff 的张量余代数与余微分的公式体系，来定义 $A_\infty$-代数及其双模的 Hochschild 上链复。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有对称、不变且非退化内积的单位结合代数的 Hochschild 上同调上，经典地定义 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数结构？
• RQ2 如何通过 $\infty$-内积将经典 Hochschild 上同调上的 BV 结构推广至 $A_\infty$-代数？
• RQ3 通过与链上 Connes $B$-算子对偶定义的 $\Delta$-算子，是否与上同调中的 Gerstenhaber 括号和杯积相容？
• RQ4 在 Poincaré 对偶空间下，该构造的 BV 结构是否与同构 $H^\bullet(C^\bullet(X), C^\bullet(X)) \cong H_\bullet(LX)$ 下的弦拓扑 BV 代数一致？

主要发现

• 通过公式 $\langle \Delta f(a_1,\dots,a_{n-1}), a_n \rangle = \sum_{i=1}^n (-1)^{i(n-1)} \langle f(a_i,\dots,a_n,a_1,\dots,a_{i-1}), 1 \rangle$ 定义的 $\Delta$-算子是链映射，且在 Hochschild 上同调上满足 $\Delta^2 = 0$。
• 所诱导的上同调上操作满足 BV 关系：$[\alpha,\beta] = \Delta(\alpha \smile \beta) - \Delta(\alpha) \smile \beta - (-1)^n \alpha \smile \Delta(\beta)$，使得 $H^\bullet(A,A)$ 成为一个 BV 代数。
• 该构造可推广至具有对称、非退化 $\infty$-内积的 $A_\infty$-代数，从而在 $H^\bullet(A,A)$ 上诱导出 BV 结构。
• $\Delta$-算子是链上 Connes $B$-算子的对偶，通过内积转移，建立了链级别与上链级别 BV 结构之间的自然联系。
• 本文猜想：对于 Poincaré 对偶空间 $X$，$C^\bullet(X)$ 的 Hochschild 上同调上的此 BV 结构，与 $H_\bullet(LX)$ 上的弦拓扑 BV 代数在同构下一致。