[论文解读] $k$-quasi planar graphs

Andrew Suk|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用 4

一句话总结

该论文建立了简单 $k$-准平面图边数的新上界，表明此类图在 $n$ 个顶点上最多有 $(n\log^2 n)2^{\alpha^{c_k}(n)}$ 条边，其中 $\alpha(n)$ 为反 Ackermann 函数，$c_k$ 仅依赖于 $k$。该结果通过广义 Davenport-Schinzel 序列及对具有 $x$-单调曲线的拓扑图中边交叉结构的分析，改进了先前的边界。

ABSTRACT

A topological graph is \emph{$k$-quasi-planar} if it does not contain $k$ pairwise crossing edges. A topological graph is \emph{simple} if every pair of its edges intersect at most once (either at a vertex or at their intersection). In 1996, Pach, Shahrokhi, and Szegedy \cite{pach} showed that every $n$-vertex simple $k$-quasi-planar graph contains at most $O(n(\log n)^{2k-4})$ edges. This upper bound was recently improved (for large $k$) by Fox and Pach \cite{fox} to $n(\log n)^{O(\log k)}$. In this note, we show that all such graphs contain at most $(n\log^2n)2^{α^{c_k}(n)}$ edges, where $α(n)$ denotes the inverse Ackermann function and $c_k$ is a constant that depends only on $k$.

研究动机与目标

• 改进已知的简单 $k$-准平面图边数上界。
• 将 $x$-单调拓扑图的结果扩展至非简单图，并获得改进的边界。
• 应用广义 Davenport-Schinzel 序列分析拓扑图中禁止的交叉模式。
• 通过结构图分解和交叉数论证，细化边界中对 $k$ 的依赖关系。

提出的方法

• 使用类型为上-下-上的广义 Davenport-Schinzel 序列，对边序列中禁止的交叉模式进行建模。
• 应用引理 2.2，针对避免上-下-上$(l)$ 子序列的 $l$-正则序列，界定序列长度。
• 采用基于二分的顶点集分解方法，通过交叉数和度数和来界定边交叉数。
• 应用 Dilworth 定理，在由边交叉导出的不可比图中寻找大的独立集。
• 按与垂直线 $L$ 的交点顺序对边排序，定义左端点和右端点的序列 $S_1$ 和 $S_2$。
• 使用反证法证明 $S_1$ 和 $S_2$ 不可能包含类型为上-下-上$(k^3+2)$ 的子序列，从而推导出序列长度有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $n$ 个顶点的简单 $k$-准平面图中，边的最大数量是多少？
• RQ2 能否通过序列理论方法，将 $k$-准平面图的边界改进至超越多对数因子？
• RQ3 当放松 $x$-单调拓扑图的简单性条件时，边界如何变化？
• RQ4 反 Ackermann 函数在 $k$-准平面图中边数渐近增长中的作用是什么？

主要发现

• 在 $n$ 个顶点的简单 $k$-准平面图中，边的最大数量至多为 $(n\log^2 n)2^{\alpha^{c_k}(n)}$，其中 $c_k$ 为仅依赖于 $k$ 的常数。
• 对于 $x$-单调拓扑图（不一定是简单的），边界的上界至多为 $2^{ck^3}n\log n$，其中 $c$ 为绝对常数。
• 证明表明，与垂直线相交的边端点序列不可能包含类型为上-下-上$(k^3+2)$ 的子序列，这是界定序列长度的关键。
• 该边界改进了 Fox 和 Pach 的早期结果，尤其在 $k$ 较大时，通过在指数中引入反 Ackermann 函数。
• 该结果通过组合序列理论，确认了对 $k$-准平面图极值行为的精细化理解。