[论文解读] $K$-theory and logarithmic Hodge-Witt sheaves of formal schemes in characteristic $p$

Matthew Morrow|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文在特征 $p$ 下建立了 Geisser–Levine 与 Bloch–Kato–Gabber 定理的提升版本，表明一个正则 $\mathbb{F}_p$-代数关于理想幂次的模 $p^r$ 提升 $K$-群，同构于其形式概形上的对数 Hodge–Witt 层。关键结果为同构 $\{K_n(A/I^s)/p^r\}_s \simeq \{W_r\Omega_{A/I^s,\text{log}}^n\}_s$，通过拓扑循环同调与 de Rham–Witt 理论，将经典 $K$-理论同构推广至形式概形。

ABSTRACT

We describe the mod $p^r$ pro $K$-groups $\{K_n(A/I^s)/p^r\}_s$ of a regular local $\mathbb F_p$-algebra $A$ modulo powers of a suitable ideal $I$, in terms of logarithmic Hodge-Witt groups, by proving pro analogues of the theorems of Geisser-Levine and Bloch-Kato-Gabber. This is achieved by combining the pro Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem in topological cyclic homology with the development of the theory of de Rham-Witt complexes and logarithmic Hodge-Witt sheaves on formal schemes in characteristic $p$. Applications include the following: the infinitesimal part of the weak Lefschetz conjecture for Chow groups; a $p$-adic version of Kato-Saito's conjecture that their Zariski and Nisnevich higher dimensional class groups are isomorphic; continuity results in $K$-theory; and criteria, in terms of integral or torsion étale-motivic cycle classes, for algebraic cycles on formal schemes to admit infinitesimal deformations. Moreover, in the case $n=1$, we compare the étale cohomology of $W_rΩ^1_ ext{log}$ and the fppf cohomology of $\mathbfμ_{p^r}$ on a formal scheme, and thus present equivalent conditions for line bundles to deform in terms of their classes in either of these cohomologies.

研究动机与目标

• 将此前仅对特征 $p$ 中光滑概形成立的经典 $K$-理论同构，推广至正则形式概形的设定。
• 在无穷小加粗的背景下，建立 Milnor $K$-理论、$K$-理论与对数 Hodge–Witt 群之间同构的提升版本。
• 发展特征 $p$ 中形式概形上 de Rham–Witt 复形与对数 Hodge–Witt 层的理论。
• 将结果应用于 $K$-理论连续性、周期类变形与弱 Lefschetz 猜想等问题。
• 比较 $W_r\Omega^1_{\text{log}}$ 与 $\boldsymbol{\mu}_{p^r}$ 的 étale 与 fppf 上同调，提供线丛变形的判别准则。

提出的方法

• 利用拓扑循环同调中的提升 Hochschild–Kostant–Rosenberg 定理，将 $K$-理论与微分形式联系起来。
• 发展在 $\mathbb{F}_p$-代数上形式概形上的 de Rham–Witt 复形与对数 Hodge–Witt 层的理论。
• 应用 Cartier 同构，并研究正则形式概形上 de Rham–Witt 复形的 $p$-滤子。
• 构造从 Milnor $K$-理论到对数 Hodge–Witt 层的正式 dlog 映射，并分析其提升性质。
• 利用凝聚对偶性与 Artin–Rees 性质，控制 Zariski 与 étale 拓扑中的上同调消去。
• 应用 $5$-引理与同伦交换正方形，比较 $K$-理论与对数 Hodge–Witt 层的连续上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典 $K$-理论、Milnor $K$-理论与 Hodge–Witt 群之间的同构关系，推广至特征 $p$ 中形式概形？
• RQ2 正则 $\mathbb{F}_p$-代数关于理想幂次的提升 $K$-理论是什么？它如何与对数 Hodge–Witt 层相关？
• RQ3 代数周期在形式概形上何时允许无穷小变形？这能否通过 étale-动机周期类来检测？
• RQ4 对于形式概形上的线丛，$W_r\Omega^1_{\text{log}}$ 的 étale 上同调与 $\boldsymbol{\mu}_{p^r}$ 的 fppf 上同调之间有何比较关系？
• RQ5 $K$-理论在特征 $p$ 下具有何种连续性性质？这些性质如何与晶体上同调相关？

主要发现

• 对于正则、$F$-有限的 $\mathbb{F}_p$-代数 $A$ 与理想 $I$，若 $A/I$ 为 gnc 且局部，则提升阿贝尔群 $\{K_n(A/I^s)/p^r\}_s$ 同构于 $\{W_r\Omega_{A/I^s,\text{log}}^n\}_s$。
• $\{K_n^M(A/I^s)/p^r\}_s \to \{K_n(A/I^s)/p^r\}_s$ 映射的核受控，且当 $I$ 为主理想且 $A/I$ 正则时消失。
• 建立了短正合列：$0 \to \{\mathbb{W}_s\Omega_R^{n-1}/p^r\}_s \xrightarrow{\text{dlog} \circ \gamma_n} \{W_r\Omega_{R[t]/t^s,\text{log}}^n\}_s$，将相对与绝对 Hodge–Witt 群联系起来。
• 映射 $H^i_{\text{Zar}}(Y, \{\mathcal{K}_{n,Y_s}\}) \to H^i_{\text{Zar}}(Y, \mathcal{K}_{n,Y})$ 的核与余核被某个 $p$-幂次杀死，当 $i+n < d-1$ 时，意味着 $K$-理论的连续性。
• 比较映射 $H^i_{\text{ét}}(Y, \{W_s\Omega_{Y_s,\text{log}}^n\}_s) \to H^i_{\text{ét}}(Y, \{W_s\Omega_{Y,\text{log}}^n\}_s)$ 的核与余核被某个 $p$-幂次杀死，当 $i+n < d-1$ 时，将 étale 上同调与连续上同调联系起来。
• 通过提升 $K$-理论与对数 Hodge–Witt 层之间的同构，证明了在无穷小设定下 Chow 群的弱 Lefschetz 猜想。