[论文解读] Kaehler structures on T*G having as underlying symplectic form the standard one

Johannes Huebschmann, Karl Leicht|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文分类了紧致连通李群 $G$ 的余切丛 $\T^*G$ 上与典范辛形式组合后形成凯勒结构的左不变与双边不变复结构。结果表明，此类复结构源于到复化群 $G^\mathbb{C}$ 的光滑浸入，并通过使用 $G$-不变函数对李代数上的恒等映射进行重标度，构造出非标准的凯勒结构，从而实现到 $G^\mathbb{C}$ 的正规开子集的双边不变凯勒微分同构。

ABSTRACT

For a connected Lie group G, we show that a complex structure on the total space TG of the tangent bundle of G that is left invariant and has the property that each left translation G-orbit is a totally real submanifold is induced from a smooth immersion of TG into the complexification of G. For G compact and connected, we then characterize left invariant and biinvariant complex structures on the total space T*G of the cotangent bundle of G which combine with the tautological symplectic structure to a Kaehler structure.

研究动机与目标

• 对 $\T^*G$ 上所有与典范辛形式组合后形成凯勒结构的左不变与双边不变复结构进行分类。
• 确定基于 $\T^*G$ 的物理模型是否依赖于复结构的选择，特别是在分层空间上的规范场论量子力学中。
• 通过非平凡地重标度 $\mathfrak{g}$ 上的恒等映射，推广标准凯勒结构，同时保持辛形式不变。
• 刻画此类复结构在何时源于到复化群 $G^\mathbb{C}$ 的光滑浸入。

提出的方法

• 使用联络1-形式与水平1-形式在 $\T G \cong G \times \mathfrak{g}$ 上定义几乎复结构，并通过可积性条件确保其为复结构。
• 应用广义极化映射 $\Pi: G \times \mathbb{A}_{\mathfrak{g}} \to G^\mathbb{C}$，其通过映射 $\chi_{\mathfrak{g}}: \mathbb{A}_{\mathfrak{g}} \to \mathbb{A}_{\mathfrak{g}}$ 构造，该映射利用 $G$-不变函数 $\varphi$ 对恒等映射进行重标度。
• 通过 $\chi_{\mathfrak{g}}$ 的微分构造1-形式 $\langle \mu, s_\chi \rangle$，确保其闭性并与辛形式相容。
• 验证所得复结构为 $G$-双边不变，并与典范辛形式组合形成凯勒结构。
• 利用复化李代数与无穷小数据，在 $\T^*G$ 上整体解释复结构。
• 通过 $\chi_{\mathfrak{g}}(a) = \varphi(\|a\|^2)a$ 对 $\mathfrak{g}$ 上的恒等映射进行重标度，其中 $\varphi$ 为光滑正函数，且 $\chi$ 为局部微分同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $\T^*G$ 上的左不变复结构与典范辛形式组合后形成凯勒结构？
• RQ2 在何种条件下 $\T^*G$ 上的复结构由到复化群 $G^\mathbb{C}$ 的光滑浸入诱导？
• RQ3 能否在保持典范辛形式的前提下，构造出超越标准结构的双边不变凯勒结构？
• RQ4 $\mathfrak{g}$ 的不变量的 $G$-不变函数在构造非标准凯勒结构中起什么作用？
• RQ5 是否存在不通过重标度 $\mathfrak{g}$ 上恒等映射构造的双边不变凯勒结构，特别是在 $G$ 为单连通时？

主要发现

• 所有使 $G$-轨道全实的 $\T^*G$ 上左不变复结构，均源于到 $G^\mathbb{C}$ 的光滑浸入。
• 对于紧致连通 $G$，$\T^*G$ 上的复结构与典范辛形式组合形成凯勒结构，当且仅当其源于通过函数 $\varphi$ 对 $\mathfrak{g}$ 上恒等映射的 $G$-不变重标度，使得 $\chi(x) = x\varphi(x^2)$ 为局部微分同胚。
• 通过选择 $\varphi$ 使得 $\chi_{\mathfrak{g}}(a) = \varphi(\|a\|^2)a$ 为局部微分同胚但非满射，可构造出非标准的双边不变凯勒结构，从而实现到 $G^\mathbb{C}$ 的正规开子集的凯勒微分同构。
• 当 $\varphi \equiv 1$ 时，该构造恢复了 $\T^*G \cong G^\mathbb{C}$ 上的标准凯勒结构。
• 1-形式 $\langle \mu, s_\chi \rangle$ 是闭的，且等于 $dF$，其中 $F(a) = \|a\|\chi(\|a\|) - \Xi(\|a\|)$，确保其与辛结构相容。
• 当 $\varphi(x^2) = \arctan(x)/x$ 时，所得映射 $\chi_{\mathfrak{g}}$ 是其像上的微分同胚但非满射，从而在 $\T^*G$ 上给出一个与标准结构不同构的凯勒结构。